教材课本 - 第 18 页

Alevel数学教材下载《Chapter4 Graph Transfomms》

该文件是数学教材的第四章，主题为图形变换（Graph Transforms），旨在帮助学生掌握函数图像的变换方法，并通过组合基本变换构建复杂函数的图形。以下是该文件的详细内容概述：

章节目标

使用技术工具（如图形计算器）研究图形变换。
理解如何通过简单函数的变换构建复杂函数。
预测不同变换后的函数图形。

核心内容

1. 基础变换

平移（Translations）
- 沿y轴平移： $y = f (x) + a$ 将图像向上（ $a > 0$ ）或向下（ $a < 0$ ）平移。
  示例： $y = x^{2} + 2$ 是 $y = x^{2}$ 上移2个单位。
- 沿x轴平移： $y = f (x - a)$ 将图像向右（ $a > 0$ ）或向左（ $a < 0$ ）平移。
  示例： $y = (x + 1)^{2}$ 是 $y = x^{2}$ 左移1个单位。
关键活动
- 活动1：预测并验证 $y = x^{2}$ 的平移、缩放和反射变换后的图形。
- 活动2：通过代数展开验证平移效果（如 $f (x + 1) = x^{3}$ 是原函数右移后的结果）。

2. 拉伸变换（Stretches）

沿y轴拉伸： $y = α f (x)$ 将图像沿y轴拉伸 $α$ 倍。
示例： $y = 2 x^{2}$ 是 $y = x^{2}$ 纵向拉伸2倍。
沿x轴拉伸： $y = f (αx)$ 将图像沿x轴压缩（ $α > 1$ ）或拉伸（ $0 < α < 1$ ）。
示例： $y = sin (2 x)$ 是 $y = sin (x)$ 横向压缩2倍。
特殊函数：对于 $y = x 1$ ，沿x轴和y轴的拉伸效果相同（如 $x 2$ 可由 $2 f (x)$ 或 $f (2 1 x)$ 得到）。

3. 反射变换（Reflections）

关于x轴反射： $y = - f (x)$ 将图像关于x轴对称翻转。
示例： $y = - x^{2}$ 是 $y = x^{2}$ 的倒置抛物线。
关于y轴反射： $y = f (- x)$ 将图像关于y轴对称翻转。
示例： $y = (- x)^{3} = - x^{3}$ 是 $y = x^{3}$ 的镜像。

4. 组合变换

分步操作：例如， $y = 2 f (- x) + 3$ 的构建步骤为：
1. 反射（关于y轴）： $f (- x)$ ；
2. 拉伸（沿y轴2倍）： $2 f (- x)$ ；
3. 平移（上移3单位）： $2 f (- x) + 3$ 。
示例： $y = x - 1 2 + 2$ 可分解为：
1. 原函数 $f (x) = x 1$ ；
2. 右移1单位： $f (x - 1) = x - 1 1$ ；
3. 纵向拉伸2倍： $2 f (x - 1) = x - 1 2$ ；
4. 上移2单位： $x - 1 2 + 2$ 。

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练习与活动

练习4A：绘制平移后的图形（如 $f (x + 5)$ 和 $f (x) + 5$ 的区别）。
练习4B：验证拉伸变换对线性函数、二次函数和反比例函数的影响。
练习4C：综合应用反射、拉伸和平移变换，绘制复杂函数的图形。
综合练习：
- 绘制奇函数（如 $f (x) = x ^{3} 1$ ，验证 $f (- x) = - f (x)$ ）；
- 将复杂函数表达为基本函数的组合（如 $y = 4 - x^{2} = - f (x) + 4$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ ）。

关键图表

平移对比图：展示 $y = x^{2}$ 与 $y = (x \pm a)^{2} + b$ 的图形差异。
拉伸对比图：比较 $y = x^{2}$ 与 $y = 2 x^{2}$ 、 $y = x^{2} /2$ 、 $y = (2 x)^{2}$ 的曲线形状。
反射示意图：如 $y = x^{3}$ 与 $y = (- x)^{3}$ 的对称性。

本章通过系统讲解平移、拉伸和反射变换，帮助学生掌握函数图形的变换规律。通过分解复杂函数为基本变换的组合，培养从简单到复杂的图形分析能力。核心在于理解每一步变换对图像的影响，并能通过代数操作和图形直觉快速预测结果。最终目标是能够不依赖技术工具，仅通过变换规则快速手绘函数图形。

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Alevel数学教材下载《Chapier3 Functons》

复合函数
- 定义：通过组合两个函数形成新函数，如汇率转换示例中先英镑换美元再换瑞士法郎
- 表示方法： $f (g (x))$ 和 $g (f (x))$ 通常不相等，需注意定义域匹配问题
- 实际应用中需确保第一个函数的值域是第二个函数的有效定义域

反函数
- 定义：将原函数的输入输出关系反转，如摄氏度与华氏度的转换公式
- 求解方法：通过代数变形将原函数的因变量解为自变量，如 $f^{-1} (x) = 9 5 (x - 32)$
- 几何性质：反函数图像是原函数关于直线 $y = x$ 的对称反射

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函数对称性
- 自反函数：图像关于 $y = x$ 对称，如 $f (x) = x 1$ 满足 $f^{-1} (x) = f (x)$
- 验证关系： $f (f^{-1} (x)) = f^{-1} (f (x)) = x$ ，体现函数与反函数的互逆性
函数类型与限制
- 一对一函数：每个输出值对应唯一输入值，可通过水平线测试判断是否存在反函数
- 多对一函数：如二次函数 $f (x) = x^{2}$ ，无法直接求反函数，但限制定义域后可能满足条件
周期性函数建模
- 通过分段函数表示重复模式，如方波、锯齿波和植物汁液流动模型
- 示例：周期为 1 秒的锯齿波由两条线段组合定义，周期为 24 小时的流动模型包含抛物线和线性段

文档通过大量实际案例和几何分析，系统阐述了函数的复合、反演、对称性及周期性特征，强调数学概念在工程、物理和生物等领域的应用。

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Alevel数学教材下载《Chepter2 Using Grphs》

这是数学教材的第二章，主要围绕图形的使用展开，涵盖以下核心内容：

章节目标

用图形表示简单函数。
理解映射（mapping）、定义域（domain）和值域（range）的概念。
判断函数是否为奇函数（odd）或偶函数（even），或两者都不是。

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主要内容

1. 图形的实际应用

活动1：货币兑换
使用英镑兑换丹麦克朗、美元、土耳其里拉的汇率绘制图形，并通过图形完成转换（如£25→克朗、$35→英镑、80里拉→克朗）。考虑银行手续费（固定佣金£2）后重新绘制图形，分析手续费对转换结果的影响。
活动2：温度转换
绘制摄氏（°C）与华氏（°F）温度的直线图（通过点(0°C,32°F)和(100°C,212°F)），并用图形完成温度转换。进一步探索绝对零度（-273°C）对应的华氏温度。

2. 映射、定义域与值域

关键概念
- 映射：将定义域中的值通过规则关联到值域中的值（如压力公式 $p = v k$ ）。
- 定义域：输入的合法范围（如 $v > 0$ 避免负体积）。
- 值域：输出的可能值集合。
- 函数：每个定义域中的值映射到唯一的值域值。
示例
- $p = v k$ （ $v > 0$ ）是函数，但 $F = T$ （ $T \geq 0$ ）不是函数（因双值性），需修正为 $F = + T$ 。

3. 奇偶函数

定义
- 偶函数：关于y轴对称，满足 $f (- x) = f (x)$ （如 $y = x^{2}$ ）。
- 奇函数：关于原点对称，满足 $f (- x) = - f (x)$ （如 $y = x^{3}$ ）。
判断方法
- 展开多项式，检查仅含偶次项或奇次项。
- 混合奇偶次项的函数既非奇也非偶（如 $y = (x + 1)^{2}$ 展开后含 $x^{2}$ 和 $x$ ）。

4. 图形形状与幂函数

幂函数特性
- 所有 $y = x^{n}$ 均通过点 (0,0) 和 (1,1)。
- 0 < x < 1：幂次越高，曲线越平缓（如 $x^{4}$ 比 $x^{2}$ 更贴近x轴）。
- x > 1：幂次越高，增长越快（如 $x^{5}$ 迅速超过 $x^{3}$ ）。
- 分数幂：如 $y = x^{1/2}$ （仅定义域 $x \geq 0$ ）， $y = x^{1/3}$ （定义域为全体实数）。

5. 练习与活动

练习2A：计算函数值（如 $f (x) = x^{2} + 2$ 的 $f (2)$ ）、绘制图形并确定定义域。
练习2B：判断图形奇偶性、补全对称图形、构建转换图（如鞋码转换）。
综合练习：分析函数定义域的合理性（如 $f (x) = x 1$ 需排除 $x = 0$ ），验证函数是否为奇偶。

关键图表

温度转换图：直线图直观展示 $F = 5 9 C + 32$ 。
幂函数对比图：展示不同幂次曲线的对称性与增长趋势。
映射示意图：如压力-体积曲线（仅保留 $v > 0$ 的右半支）。

本章通过丰富的实例和活动，帮助学生掌握图形的实际应用（如货币、温度转换）、理解映射与函数的核心概念（定义域、值域、奇偶性），并通过幂函数等经典函数图形分析函数行为。最终目标是培养学生通过图形快速分析问题、识别函数性质的能力。

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