教材课本 - 第 17 页

Alevel数学教材下载《Chapter 7 Straight Lines》

章节概览

本章系统性地讲解了直线的基本性质、方程形式、几何应用及实际问题的建模方法。通过代数与几何结合的方式，培养读者解决线性问题的能力，涵盖以下核心主题：

7.1 斜率

核心概念：
- 斜率定义为垂直变化与水平变化的比率：
  $gradient = Δ x Δ y$
- 实际应用：
  - 以保险费用为例，建立线性模型 $y = 6 x - 50$ ，解释斜率 $m = 6$ 的实际意义（每增加1英镑保费，保险金额增加6000英镑）。
  - 通过两点坐标计算斜率，如点 $(25, 100)$ 和 $(50, 250)$ 的斜率为 $50 - 25 250 - 100 = 6$ 。

7.2 直线方程

方程形式：
所有直线方程均可表示为：

$y = m x + c$ 其中 $m$ 为斜率， $c$ 为y轴截距。
关键方法：
1. 已知斜率和一点：
  如斜率为 $- 2$ 且过点 $(4, - 1)$ ，代入方程得 $- 1 = - 2 \times 4 + c$ ，解得 $c = 7$ ，方程为 $y = - 2 x + 7$ 。
2. 已知两点：
  如点 $(1, 0)$ 和 $(3, 6)$ ，斜率 $m = 3 - 1 6 - 0 = 3$ ，代入一点得 $0 = 3 \times 1 + c$ ，解得 $c = - 3$ ，方程为 $y = 3 x - 3$ 。
3. 一般式转斜截式：
  如 $4 x + 3 y - 6 = 0$ 化简为 $y = - 3 4 x + 2$ ，斜率为 $- 3 4$ ，截距为2。

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7.3 垂直直线

垂直斜率关系：
若两直线垂直，则斜率乘积为 $- 1$ ，即 $m_{1} \times m_{2} = - 1$ 。
示例：
- 直线 $y = x + 1$ 的斜率为1，其垂线斜率为 $- 1$ 。
- 过点 $(1, 2)$ 的垂线方程为 $y = - x + 3$ 。

7.4 线性不等式

图形解法：
1. 可行区域确定：
- 绘制等式对应的直线（如 $x + y = 100$ ）。
- 确定不等式区域（如 $x + y \leq 100$ 为直线左侧区域）。
1. 最优解：
- 在可行区域的顶点处评估目标函数（如利润 $P = 20 x + 30 y$ ）。
- 农业案例：最优解为 $x = 60$ 公顷小麦， $y = 40$ 公顷甜菜，最大利润 $P = 2400$ 。

7.5 笛卡尔坐标系

两点间距离：
点 $A (x_{A}, y_{A})$ 和 $B (x_{B}, y_{B})$ 的距离公式：

$A B = (x^{B} - x^{A})^{2} + (y^{B} - y^{A})^{2}$ 示例：
- 点 $(1, 1)$ 和 $(- 3, 3)$ 的距离为 $(-4)^{2} + (2)^{2} = 20$ 。
中点坐标：
$(2 x ^{A} + x ^{B}, 2 y ^{A} + y ^{B})$ 示例：
- 点 $(- 3, 3)$ 和 $(3, 5)$ 的中点为 $(0, 4)$ 。

综合练习

题型覆盖：
1. 直线方程求解：如通过斜率和点、两点坐标或垂直关系推导方程。
2. 线性不等式分析：绘制可行区域并寻找最优解。
3. 几何应用：计算距离、中点，证明几何图形性质（如四边形为正方形）。
4. 实际问题建模：如保险费用、运输成本、弹簧伸长实验的线性拟合。

本章通过理论讲解与实例分析，系统性地阐述了直线的代数与几何性质，强调数形结合思维。重点包括：

直线方程的灵活应用：从斜率计算到实际建模。
垂直关系的数学本质：斜率乘积为 $- 1$ 的几何意义。
线性不等式的图形解法：通过可行区域寻找最优解。
笛卡尔坐标系的实际价值：在距离计算和几何证明中的核心作用。

通过丰富的例题和练习题，读者可逐步掌握从基础概念到复杂问题解决的全方位技能。

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Alevel数学教材下载《Chapter6 Extending Aigebra》

章节概览

本章旨在扩展代数知识，重点解决三次及更高次方程、多项式因式分解，以及余数定理的应用。内容从实际问题引入，逐步过渡到抽象代数技巧，涵盖以下核心主题：

6.1 三次方程

实际问题：如何用20cm×20cm的正方形纸板制作体积为500cm³的无盖盒子？
- 设切割的小正方形边长为 $x$ ，体积方程为：
  $x (20 - 2 x)^{2} = 500 \Rightarrow x^{3} - 20 x^{2} + 100 x - 125 = 0$
- 通过检验发现 $x = 5$ 是根，因式分解为：
  $(x - 5) (x^{2} - 15 x + 25) = 0$
- 解得： $x = 5$ 、 $x = 2 15 \pm 5 5$ （约1.9和13.1）。
关键方法：
- 因子定理：若 $α$ 是多项式 $P (x)$ 的根，则 $(x - α)$ 是 $P (x)$ 的因子。
- 长除法：分解多项式时，通过长除法或系数调整法找到剩余因子。

6.2 无简单解的情况

当无法直接找到根时，可采用以下方法：

试错法：通过计算函数值确定根的大致区间（如 $f (x)$ 在区间端点符号变化）。
图形法：绘制函数图像，观察与x轴的交点。

示例：
解方程 $x^{3} - 100 x^{2} + 2000 x - 1500 = 0$ ，通过试值得根在区间（0,10）、（20,30）、（70,80），最终近似解为0.78、26.40、72.82。

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6.3 因子定理

核心定理：若 $P (α) = 0$ ，则 $(x - α)$ 是 $P (x)$ 的因子。
应用举例：
- 验证 $(x - 5)$ 是否为 $x^{5} - 4 x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + 25$ 的因子：
  计算 $P (5) = 0$ ，故 $(x - 5)$ 是因子。
- 分数根：若 $q p$ 是多项式根，则 $(q x - p)$ 为因子（如 $x = 2 1$ 对应因子 $(2 x - 1)$ ）。

6.4 高阶方程的解法

四次方程示例：
$x^{4} - 4 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x - 24 = 0$
- 已知根 $x = 1$ ，分解为 $(x - 1) (x^{3} - 3 x^{2} - 10 x + 24)$ 。
- 进一步分解三次多项式得： $(x - 1) (x - 2) (x - 4) (x + 3)$ ，解为 $x = - 3, 1, 2, 4$ 。
长除法与系数调整：
通过系统化的多项式除法或系数重组，逐步分解高次多项式。

6.5 多项式因式分解

完全分解：
将多项式分解为线性因子和不可约二次因子的乘积。
示例：
$x^{4} + 3 x^{3} - 11 x^{2} - 19 x - 6 = 0$
- 分解为 $(x + 1) (x - 3) (x^{2} + 5 x + 2)$ ，二次方程解为 $x = - 4.56, - 0.438$ 。

6.6 余数定理

定理：多项式 $P (x)$ 除以 $(x - α)$ 的余数为 $P (α)$ 。
应用：
- 计算余数：如 $x^{3} + 6 x^{2} + x - 7$ 除以 $x + 1$ ，余数为 $P (- 1) = - 1$ 。
- 表达式形式：
  $P (x) = (x - α) Q (x) + R \Rightarrow R = P (α)$

6.8 有理数与无理数

无理数的证明：
- 经典证明：通过反证法证明 $2$ 无理（假设 $2 = q p$ ，推导出矛盾）。
运算性质：
- 有理数 ± 有理数 = 有理数，有理数 × 无理数 = 无理数（除非乘0）。
根式简化与有理化：
- 简化：如 $20 = 25$ 。
- 有理化分母：如 $5 + 1 1 = 4 5 - 1$ 。

综合练习

题目类型：
- 因式分解多项式（如 $x^{4} - 3 x^{3} - 10 x^{2} - x + 5$ ）。
- 解高次方程（如四次方程 $x^{4} + 8 x^{3} - 13 x^{2} - 32 x + 36 = 0$ ）。
- 应用余数定理求参数（如确定多项式系数使余数满足条件）。
- 根式运算与证明（如证明 $3$ 无理）。

本章系统性地讲解了高次多项式的因式分解、方程求解技巧，以及相关定理（因子定理、余数定理）的应用。通过实际问题引入抽象概念，辅以大量例题和练习，帮助学生掌握从三次方程到更高次多项式的代数操作，并拓展到无理数的性质与运算。

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Alevel数学教材下载《Chapter5 Solving Problems》

该文件是数学教材的第五章，主题为“解决问题”，重点介绍如何通过代数方法解决各类数学问题。以下是内容的详细分析：

章节结构概览

5.0 引言

强调代数作为高效问题解决工具的重要性，指出代数能将复杂问题转化为数学形式，简化求解过程。

5.1 设置与解决线性问题

核心方法：分三阶段解决问题：
1. 翻译问题为数学形式；
2. 数学求解；
3. 将答案还原到原始问题中。
示例：
- 煤炭运输问题：通过方程 $5 + 8 x = 50$ 计算可运送的吨数（5.625吨）；若只能按100公斤袋装运送，则需设立不等式 $5 + 0.8 x \leq 50$ ，解得最大袋数56（即5.6吨）。
- 其他案例：如汽车超车时间计算、成人儿童票数分配、账户余额比较等，均通过线性方程或联立方程解决。

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5.2 代数技巧复习

核心内容：
- 展开括号：如 $p (p - 7 q) = p^{2} - 7 pq$ ；
- 因式分解：如 $x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)$ ；
- 简化表达式：如 $(p + 3) (p - 1) - (p + 2) (p - 3) = 3 (p + 1)$ 。
练习：涵盖多项式展开、因式分解（二次及高次多项式）、合并同类项等。

5.3 设置与解决二次方程

核心方法：通过因式分解解二次方程。
示例：
- 解 $x (x + 6) = 16$ ：转化为 $x^{2} + 6 x - 16 = 0$ ，因式分解为 $(x + 8) (x - 2) = 0$ ，解得 $x = - 8$ 或 $2$ 。
- 实际应用：如花园路径宽度计算，通过几何面积公式建立二次方程，排除负数解。
活动：绘制二次函数图像，分析根的几何意义。

5.4 近似解法

适用场景：当二次方程无法因式分解时，使用图形法或试错法。
示例：
- 解 $x^{2} - 15 x + 40 = 0$ ，通过试错法逼近根的范围，最终得到近似解 $x \approx 3.47$ 。
活动：编写程序实现试错法，探讨二次方程解的个数问题。

5.5 二次函数研究

核心技巧：完成平方法（Completing the Square）。
示例：
- 将 $x^{2} - 4 x - 3 = 0$ 转化为 $(x - 2)^{2} - 7 = 0$ ，解得 $x = 2 \pm 7$ 。
- 应用：求二次函数的最大值或最小值，如 $x^{2} + 3 x + 7$ 的最小值为4.75（当 $x = - 1.5$ 时）。
活动：分析函数图像变换（平移、缩放）对极值的影响。

5.6 二次方程求根公式

公式推导：通过完成平方得到通解公式：
$x = 2 a - b \pm b ^{2} - 4 a c$
应用示例：解 $7.8 x^{2} - 11.2 x - 4.9 = 0$ ，代入公式得近似解 $x \approx - 0.351$ 或 $1.79$ 。
判别式分析：讨论 $Δ = b^{2} - 4 a c$ 对根的影响（实根、重根、虚根）。

5.7 分数方程

核心方法：消分母，转化为多项式方程。
示例：
- 打字测试问题：设每份测试字数 $W$ ，建立方程 $45 W + 36 W = 25$ ，解得 $W = 500$ 。
- 错误纠正活动：识别并修正分式方程求解中的常见错误（如未正确消分母）。

5.8 不等式

解法：
- 因式分解法：如解 $(x - 7) (x + 4) \geq 0$ ，得 $x \leq - 4$ 或 $x \geq 7$ ；
- 完成平方法：如解 $x^{2} + 8 x + 9 < 0$ ，转化为 $(x + 4)^{2} < 7$ ，得 $- 4 - 7 < x < - 4 + 7$ 。
实际应用：如农场围栏面积约束问题。

5.9 模数（绝对值）

核心概念：绝对值表示距离，用于解决涉及范围的问题。
示例：
- 两车通信问题：解 $∣198 - 4 9 t ∣ < 10$ ，得时间范围 $83 9 5 < t < 92 9 4$ 分钟。
- 价格差异问题：设印刷报价差异 $∣35 - 0.03 n ∣ \leq 5$ ，解得 $1000 \leq n \leq 1333$ 。

5.10 综合练习

多样化问题：涵盖税务计算、时间规划、几何问题、运动学问题等，需综合运用代数技巧。
示例：
- 时钟问题：计算时针与分针重合的具体时间；
- 飞机相遇问题：通过相对速度与绝对值约束求解时间窗口。

该章节系统性地从线性问题过渡到二次方程、不等式及模数问题，结合大量实例与练习，强调代数作为问题解决工具的实际应用。内容设计注重理论与实践结合，适合学生逐步提升代数思维与解题能力。

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