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2024年1月A-level爱德思数学p1真题

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‌我们特别为您准备了2024年1月A-level爱德思考试局 p1真题。

A-Level 数学知识点

1. 多项式展开：将多项式乘积展开为单项式的和。
2. 不定积分：求函数的原函数。
3. 幂函数积分公式：。
4. 分项积分：对多项式的每一项分别积分。

解题步骤

步骤 1: 展开多项式

首先，展开 $(2x - 5)(3x + 2)(2x + 5)$：

1. 计算 $(3x + 2)(2x + 5)$：

\[
(3x + 2)(2x + 5) = 3x \cdot 2x + 3x \cdot 5 + 2 \cdot 2x + 2 \cdot 5 = 6x^2 + 15x + 4x + 10 = 6x^2 + 19x + 10
\]

2. 计算 $(2x - 5)(6x^2 + 19x + 10)$：

\[
= 2x \cdot 6x^2 + 2x \cdot 19x + 2x \cdot 10 - 5 \cdot 6x^2 - 5 \cdot 19x - 5 \cdot 10
\]

\[
= 12x^3 + 38x^2 + 20x - 30x^2 - 95x - 50
\]

\[
= 12x^3 + 8x^2 - 75x - 50
\]

步骤 2: 对每一项积分

\[
\int (12x^3 + 8x^2 - 75x - 50) \, dx
\]

1. 积分 $12x^3$:

\[
\int 12x^3 \, dx = 12 \cdot \frac{x^4}{4} = 3x^4
\]

2. 积分 $8x^2$:

\[
\int 8x^2 \, dx = 8 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{8}{3}x^3
\]

3. 积分 $-75x$:

\[
\int -75x \, dx = -75 \cdot \frac{x^2}{2} = -\frac{75}{2}x^2
\]

4. 积分 $-50$:

\[
\int -50 \, dx = -50x
\]

步骤 3: 合并结果

将各部分结果相加，并加上积分常数 $ C $：

\[
3x^4 + \frac{8}{3}x^3 - \frac{75}{2}x^2 - 50x + C
\]

这就是积分的最简形式。

A-Level 数学知识点

1. 三角形面积公式：使用计算三角形的面积。
2. 正弦定理：用于计算未知边或角。
3. 余弦定理：用于计算未知边。

解题步骤

(a) 求 $\sin \theta$ 的值

使用三角形面积公式：

\[
\text{Area} = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin \theta
\]

已知面积为 $100 \, \text{cm}^2$，$AB = 15 \, \text{cm}$，$AC = 25 \, \text{cm}$，则：

\[
100 = \frac{1}{2} \times 15 \times 25 \times \sin \theta
\]

\[
100 = 187.5 \times \sin \theta
\]

\[
\sin \theta = \frac{100}{187.5} = \frac{4}{7.5}
\]

\[
\sin \theta = \frac{8}{15}
\]

(b) 求 $BC$ 的长度

因为 $\theta > 90^\circ$，我们使用余弦定理：

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos \theta
\]

首先计算 $\cos \theta$：

\[
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
\]

\[
\cos^2 \theta = 1 - \left(\frac{8}{15}\right)^2 = 1 - \frac{64}{225} = \frac{161}{225}
\]

\[
\cos \theta = -\sqrt{\frac{161}{225}} \quad (\text{因为} \, \theta > 90^\circ)
\]

\[
\cos \theta = -\frac{\sqrt{161}}{15}
\]

代入余弦定理：

\[
BC^2 = 15^2 + 25^2 - 2 \times 15 \times 25 \times \left(-\frac{\sqrt{161}}{15}\right)
\]

\[
BC^2 = 225 + 625 + 50\sqrt{161}
\]

\[
BC = \sqrt{850 + 50\sqrt{161}}
\]

计算 $BC$ 的近似值：

\[
BC \approx 39.1 \, \text{cm} \quad (\text{保留三位有效数字})
\]

因此，$BC$ 的长度约为 $39.1 \, \text{cm}$。

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2024年6月A-level爱德思数学p1(R)真题

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要解这个不定积分：

\int (21 x^{3} + x 3 - 4) d x

我们可以分别对每一项进行积分。

分项积分

积分 $2 1 x^{3}$ ：
$\int 21 x^{3} d x = 21 \cdot 4 x ^{4} = 81 x^{4}$
积分 $x 3$ ：

首先将 $x 3$ 改写为 $3 x^{-1/2}$ ：
$\int 3 x^{-1/2} d x = 3 \cdot 1/2 x ^{1/2} = 6 x^{1/2}$
积分 $- 4$ ：
$\int - 4 d x = - 4 x$

合并结果

将各部分结果相加，并加上积分常数 $C$ ：

\int (21 x^{3} + x 3 - 4) d x = 81 x^{4} + 6 x^{1/2} - 4 x + C

A-Level 数学知识点

不定积分：求函数的原函数。
幂函数积分公式： $\int x^{n} d x = n + 1 x ^{n + 1} + C$ 。
常数倍积分： $\int k \cdot f (x) d x = k \cdot \int f (x) d x$ 。
分项积分：对多项式的每一项分别积分。
负指数积分：处理负指数和分数指数的积分。
积分常数：积分结果加上常数 $C$ 。

(a) 解不等式 $5(x + 3) > 4(2x - 5)$

展开并简化不等式：

\[
5x + 15 > 8x - 20
\]

将 $x$ 移到一边，常数移到另一边：

\[
15 + 20 > 8x - 5x
\]

\[
35 > 3x
\]

\[
x < \frac{35}{3}
\]

(b) 完全平方形式

(i) 将 $x^2 - 6x + 1$ 写成 $(x + a)^2 + b$ 的形式

首先完成平方：

\[
x^2 - 6x + 1 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 1
\]

\[
= (x - 3)^2 - 8
\]

所以，$a = -3$，$b = -8$。

(ii) 解不等式 $x^2 - 6x + 1 \geq 0$

使用完全平方形式：

\[
(x - 3)^2 - 8 \geq 0
\]

\[
(x - 3)^2 \geq 8
\]

\[
x - 3 \geq \sqrt{8} \quad \text{或} \quad x - 3 \leq -\sqrt{8}
\]

\[
x \geq 3 + 2\sqrt{2} \quad \text{或} \quad x \leq 3 - 2\sqrt{2}
\]

结合两个不等式：

1. $x < \frac{35}{3}$
2. $x \geq 3 + 2\sqrt{2}$ 或 $x \leq 3 - 2\sqrt{2}$

因为 $3 + 2\sqrt{2} \approx 5.828$ 和 $3 - 2\sqrt{2} \approx 0.172$，所以解为：

- $x \leq 3 - 2\sqrt{2}$ 的解不满足 $x < \frac{35}{3}$。
- $x \geq 3 + 2\sqrt{2}$ 并且 $x < \frac{35}{3}$ 的解为 $3 + 2\sqrt{2} \leq x < \frac{35}{3}$。

A-Level 数学知识点

1. 不等式求解：代数操作和不等式的解法。
2. 展开和简化：代数表达式的展开和简化。
3. 完全平方公式：将二次表达式写成完全平方的形式。
4. 平方根和不等式：处理平方根不等式。
5. 数值近似：估算平方根以帮助解不等式。

2024年6月A-level爱德思数学p1真题

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要解这个不定积分，我们需要分别对每一项进行积分。

题目给出的函数是：

\[
\int \left(10x^4 - \frac{3}{2x^2} - 7\right) \, dx
\]

我们可以将其拆分为三个独立的积分：

1. $\int 10x^4 \, dx$
2. $\int -\frac{3}{2x^2} \, dx$
3. $\int -7 \, dx$

逐项积分：

1. 对于 $\int 10x^4 \, dx$，使用幂积分公式：

\[
\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
\]

所以：

\[
\int 10x^4 \, dx = 10 \cdot \frac{x^{5}}{5} = 2x^5
\]

2. 对于 $\int -\frac{3}{2x^2} \, dx$，可以改写为 $-\frac{3}{2} \int x^{-2} \, dx$：

\[
\int x^{-2} \, dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}
\]

所以：

\[
-\frac{3}{2} \int x^{-2} \, dx = -\frac{3}{2} \left(-\frac{1}{x}\right) = \frac{3}{2x}
\]

3. 对于 $\int -7 \, dx$，这是一个常数项积分：

\[
\int -7 \, dx = -7x
\]

将这些结果结合起来，得到：

\[
\int \left(10x^4 - \frac{3}{2x^2} - 7\right) \, dx = 2x^5 + \frac{3}{2x} - 7x + C
\]

其中 $C$ 是积分常数。

这道题涉及的知识点包括：

1. 不定积分：
- 不定积分是求一个函数的原函数的过程，结果包含一个积分常数 $ C $。

2. 幂函数积分公式：
- $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$，其中 $ n \neq -1 $。

3. 常数倍积分：
- $\int k \cdot f(x) \, dx = k \cdot \int f(x) \, dx$，其中 $ k $ 是常数。

4. 分项积分：
- 复杂的积分可以拆分为简单项的积分，分别求解再合并。

5. 负指数积分：
- 对于负指数的积分，例如 $\int x^{-n} \, dx$，可以使用幂函数积分公式。

6. 常数项积分：
- $\int k \, dx = kx + C$，其中 $ k $ 是常数。

通过这些知识点，可以有效地求解多项式形式的不定积分。

2、

(i)

给定 $m = 2^{n}$ 。

(a) $2^{n + 3}$

我们可以将其写成：

2^{n + 3} = 2^{n} \cdot 2^{3} = m \cdot 8

所以， $2^{n + 3}$ 在最简形式下是 $8 m$ 。

(b) $1 6^{3 n}$

首先将 16 写成 2 的幂：

16 = 2^{4}

所以：

1 6^{3 n} = (2^{4})^{3 n} = 2^{12 n}

再用 $m = 2^{n}$ 替换：

2^{12 n} = (2^{n})^{12} = m^{12}

因此， $1 6^{3 n}$ 在最简形式下是 $m^{12}$ 。

(ii)

解方程：

x 3 - 3 = x + 3

将所有含 $x$ 的项移到一边：

x 3 - x = 3 + 3

提取 $x$ ：

x (3 - 1) = 3 + 3

解出 $x$ ：

x = 3 - 1 3 + 3

为了简化分数，乘以共轭：

x = ( 3 - 1 ) ( 3 + 1 ) ( 3 + 3 ) ( 3 + 1 )

分母：

(3 - 1) (3 + 1) = 3 - 1 = 2

分子：

(3 + 3) (3 + 1) = 3 + 3 + 33 + 3 = 6 + 43

所以：

x = 26 + 4 3 = 3 + 23

因此， $x = 3 + 23$ 。

A-Level 数学知识点

指数运算：理解和操作指数，包括幂的乘法和指数表达式的简化。
代数表达式的简化：包括因式分解和共轭的使用。
方程求解：通过代数操作求解方程。
有理化：使用共轭有理化分母。
代数表达式的替换：将代数表达式中的变量替换为其他已知量。

分项积分

合并结果

A-Level 数学知识点

(i)

(a) 2n+32n+3

(b) 163n163n

(ii)

A-Level 数学知识点

(a) $2^{n + 3}$

(b) $1 6^{3 n}$