解题步骤

(a) 找出常数 \(a\) 的值

使用梯形法则近似计算积分：

梯形法则公式：

\[
\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{2} \left( y_0 + 2(y_1 + y_2 + \ldots + y_{n-1}) + y_n \right)
\]

这里，\(h\) 是每个区间的宽度，\(y_i\) 是对应的函数值。

给定 \(x\) 的值为 \(-4, -2.5, -1, 0.5, 2, 3.5, 5\)，所以 \(h = 1.5\)。

已知近似积分值为 19.3：

\[
19.3 = \frac{1.5}{2} \left( 4.16 + 2(2.91 + a + 1.73 + 1.37 + 1.43) + 2.28 \right)
\]

\[
19.3 = 0.75 \left( 6.44 + 2(a + 7.44) \right)
\]

\[
19.3 = 0.75 \left( 6.44 + 2a + 14.88 \right)
\]

\[
19.3 = 0.75 \left( 21.32 + 2a \right)
\]

\[
19.3 = 15.99 + 1.5a
\]

\[
3.31 = 1.5a
\]

\[
a = \frac{3.31}{1.5} = 2.2067
\]

因此，\(a\) 的值为 2.21（保留三位有效数字）。

(b) 计算 \(\int_{-4}^{5} (2f(x) - 3) \, dx\)

利用积分的线性性质：

\[
\int_{-4}^{5} (2f(x) - 3) \, dx = 2\int_{-4}^{5} f(x) \, dx - \int_{-4}^{5} 3 \, dx
\]

已知 \(\int_{-4}^{5} f(x) \, dx = 19.3\)，所以：

\[
2 \times 19.3 - 3 \times (5 - (-4))
\]

\[
= 38.6 - 3 \times 9
\]

\[
= 38.6 - 27
\]

\[
= 11.6
\]

因此，\(\int_{-4}^{5} (2f(x) - 3) \, dx\) 的近似值为 11.6。