分类： Edexcel 真题

A-Level 数学知识点

1. 二项式定理：用于展开形如 的表达式。
2. 组合数公式：。
3. 多项式乘法：用于计算多项式的乘积。

解题步骤

(a) 展开 \(\left(1 - \frac{1}{6}x\right)^9\) 的前四项

根据二项式定理：

\[
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
\]

对于 \(\left(1 - \frac{1}{6}x\right)^9\)，我们有 \(a = 1\) 和 \(b = -\frac{1}{6}x\)。

展开前四项：

1. 第 0 项：

\[
\binom{9}{0} (1)^9 \left(-\frac{1}{6}x\right)^0 = 1
\]

2. 第 1 项：

\[
\binom{9}{1} (1)^8 \left(-\frac{1}{6}x\right)^1 = 9 \left(-\frac{1}{6}x\right) = -\frac{9}{6}x = -\frac{3}{2}x
\]

3. 第 2 项：

\[
\binom{9}{2} (1)^7 \left(-\frac{1}{6}x\right)^2 = 36 \left(\frac{1}{36}x^2\right) = x^2
\]

4. 第 3 项：

\[
\binom{9}{3} (1)^6 \left(-\frac{1}{6}x\right)^3 = 84 \left(-\frac{1}{216}x^3\right) = -\frac{84}{216}x^3 = -\frac{7}{18}x^3
\]

前四项为：

\[
1 - \frac{3}{2}x + x^2 - \frac{7}{18}x^3
\]

(b) 求 \((10x + 3)\left(1 - \frac{1}{6}x\right)^9\) 中 \(x^3\) 的系数

我们需要找到 \((10x + 3)\) 和展开的乘积中 \(x^3\) 的系数。

展开为：

\[
(10x + 3)(1 - \frac{3}{2}x + x^2 - \frac{7}{18}x^3)
\]

计算 \(x^3\) 项：

- \(10x \cdot x^2 = 10x^3\)
- \(3 \cdot -\frac{7}{18}x^3 = -\frac{7}{6}x^3\)

系数为：

\[
10 - \frac{7}{6} = \frac{60}{6} - \frac{7}{6} = \frac{53}{6}
\]

因此，\(x^3\) 的系数为 \(\frac{53}{6}\)。

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要解这个不定积分：

我们可以分别对每一项进行积分。

分项积分

1. 积分 12x321​x3：

   ∫12x3 dx=12⋅x44=18x4∫21​x3dx=21​⋅4x4​=81​x4

2. 积分 3xx​3​：

   首先将 3xx​3​ 改写为 3x−1/23x−1/2：

   ∫3x−1/2 dx=3⋅x1/21/2=6x1/2∫3x−1/2dx=3⋅1/2x1/2​=6x1/2

3. 积分 $-4$：

   $$\int -4dx=-4x$$

合并结果

将各部分结果相加，并加上积分常数 $C$：

A-Level 数学知识点

1. 不定积分：求函数的原函数。

2. 幂函数积分公式：∫xn dx=xn+1n+1+C∫xndx=n+1xn+1​+C。

3. 常数倍积分：$\int k\cdot f(x)dx=k\cdot \int f(x)dx$。

4. 分项积分：对多项式的每一项分别积分。

5. 负指数积分：处理负指数和分数指数的积分。

6. 积分常数：积分结果加上常数 $C$。

(a) 解不等式 \(5(x + 3) > 4(2x - 5)\)

展开并简化不等式：

\[
5x + 15 > 8x - 20
\]

将 \(x\) 移到一边，常数移到另一边：

\[
15 + 20 > 8x - 5x
\]

\[
35 > 3x
\]

\[
x < \frac{35}{3}
\]

(b) 完全平方形式

(i) 将 \(x^2 - 6x + 1\) 写成 \((x + a)^2 + b\) 的形式

首先完成平方：

\[
x^2 - 6x + 1 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 1
\]

\[
= (x - 3)^2 - 8
\]

所以，\(a = -3\)，\(b = -8\)。

(ii) 解不等式 \(x^2 - 6x + 1 \geq 0\)

使用完全平方形式：

\[
(x - 3)^2 - 8 \geq 0
\]

\[
(x - 3)^2 \geq 8
\]

\[
x - 3 \geq \sqrt{8} \quad \text{或} \quad x - 3 \leq -\sqrt{8}
\]

\[
x \geq 3 + 2\sqrt{2} \quad \text{或} \quad x \leq 3 - 2\sqrt{2}
\]

(c) 求满足两个条件的 \(x\)

结合两个不等式：

1. \(x < \frac{35}{3}\)
2. \(x \geq 3 + 2\sqrt{2}\) 或 \(x \leq 3 - 2\sqrt{2}\)

因为 \(3 + 2\sqrt{2} \approx 5.828\) 和 \(3 - 2\sqrt{2} \approx 0.172\)，所以解为：

- \(x \leq 3 - 2\sqrt{2}\) 的解不满足 \(x < \frac{35}{3}\)。
- \(x \geq 3 + 2\sqrt{2}\) 并且 \(x < \frac{35}{3}\) 的解为 \(3 + 2\sqrt{2} \leq x < \frac{35}{3}\)。

A-Level 数学知识点

1. 不等式求解：代数操作和不等式的解法。
2. 展开和简化：代数表达式的展开和简化。
3. 完全平方公式：将二次表达式写成完全平方的形式。
4. 平方根和不等式：处理平方根不等式。
5. 数值近似：估算平方根以帮助解不等式。