该文件是数学教材的第五章，主题为“解决问题”，重点介绍如何通过代数方法解决各类数学问题。以下是内容的详细分析：
章节结构概览
5.0 引言
- 强调代数作为高效问题解决工具的重要性，指出代数能将复杂问题转化为数学形式，简化求解过程。
5.1 设置与解决线性问题
- 核心方法：分三阶段解决问题：
- 翻译问题为数学形式；
- 数学求解；
- 将答案还原到原始问题中。
- 示例：
- 煤炭运输问题：通过方程 5+8x=50 计算可运送的吨数（5.625吨）；若只能按100公斤袋装运送，则需设立不等式 5+0.8x≤50，解得最大袋数56（即5.6吨）。
- 其他案例：如汽车超车时间计算、成人儿童票数分配、账户余额比较等，均通过线性方程或联立方程解决。
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5.2 代数技巧复习
- 核心内容：
- 展开括号：如 p(p−7q)=p2−7pq；
- 因式分解：如 x2+5x+6=(x+2)(x+3)；
- 简化表达式：如 (p+3)(p−1)−(p+2)(p−3)=3(p+1)。
- 练习：涵盖多项式展开、因式分解（二次及高次多项式）、合并同类项等。
5.3 设置与解决二次方程
- 核心方法：通过因式分解解二次方程。
- 示例：
- 解 x(x+6)=16：转化为 x2+6x−16=0，因式分解为 (x+8)(x−2)=0，解得 x=−8 或 2。
- 实际应用：如花园路径宽度计算，通过几何面积公式建立二次方程，排除负数解。
- 活动：绘制二次函数图像，分析根的几何意义。
5.4 近似解法
- 适用场景：当二次方程无法因式分解时，使用图形法或试错法。
- 示例：
- 解 x2−15x+40=0，通过试错法逼近根的范围，最终得到近似解 x≈3.47。
- 活动：编写程序实现试错法，探讨二次方程解的个数问题。
5.5 二次函数研究
- 核心技巧：完成平方法（Completing the Square）。
- 示例：
- 将 x2−4x−3=0 转化为 (x−2)2−7=0，解得 x=2±7。
- 应用：求二次函数的最大值或最小值，如 x2+3x+7 的最小值为4.75（当 x=−1.5 时）。
- 活动：分析函数图像变换（平移、缩放）对极值的影响。
5.6 二次方程求根公式
- 公式推导：通过完成平方得到通解公式：
x=−b±b2−4ac2a
- 应用示例：解 7.8x2−11.2x−4.9=0，代入公式得近似解 x≈−0.351 或 1.79。
- 判别式分析：讨论 Δ=b2−4ac 对根的影响（实根、重根、虚根）。
5.7 分数方程
- 核心方法：消分母，转化为多项式方程。
- 示例：
- 打字测试问题：设每份测试字数 W，建立方程 W45+W36=25，解得 W=500。
- 错误纠正活动：识别并修正分式方程求解中的常见错误（如未正确消分母）。
5.8 不等式
- 解法：
- 因式分解法：如解 (x−7)(x+4)≥0，得 x≤−4 或 x≥7；
- 完成平方法：如解 x2+8x+9<0，转化为 (x+4)2<7，得 −4−7<x<−4+7。
- 实际应用：如农场围栏面积约束问题。
5.9 模数（绝对值）
- 核心概念：绝对值表示距离，用于解决涉及范围的问题。
- 示例：
- 两车通信问题：解 ∣198−9t4∣<10，得时间范围 8359<t<9249 分钟。
- 价格差异问题：设印刷报价差异 ∣35−0.03n∣≤5，解得 1000≤n≤1333。
5.10 综合练习
- 多样化问题：涵盖税务计算、时间规划、几何问题、运动学问题等，需综合运用代数技巧。
- 示例：
- 时钟问题：计算时针与分针重合的具体时间；
- 飞机相遇问题：通过相对速度与绝对值约束求解时间窗口。
该章节系统性地从线性问题过渡到二次方程、不等式及模数问题，结合大量实例与练习，强调代数作为问题解决工具的实际应用。内容设计注重理论与实践结合，适合学生逐步提升代数思维与解题能力。
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