Alevel数学教材下载《Chapter6 Extending Aigebra》

本章旨在扩展代数知识，重点解决三次及更高次方程、多项式因式分解，以及余数定理的应用。内容从实际问题引入，逐步过渡到抽象代数技巧，涵盖以下核心主题：

实际问题：如何用20cm×20cm的正方形纸板制作体积为500cm³的无盖盒子？
- 设切割的小正方形边长为 $x$ ，体积方程为：
  $x (20 - 2 x)^{2} = 500 \Rightarrow x^{3} - 20 x^{2} + 100 x - 125 = 0$
- 通过检验发现 $x = 5$ 是根，因式分解为：
  $(x - 5) (x^{2} - 15 x + 25) = 0$
- 解得： $x = 5$ 、 $x = 2 15 \pm 5 5$ （约1.9和13.1）。
关键方法：
- 因子定理：若 $α$ 是多项式 $P (x)$ 的根，则 $(x - α)$ 是 $P (x)$ 的因子。
- 长除法：分解多项式时，通过长除法或系数调整法找到剩余因子。

当无法直接找到根时，可采用以下方法：

示例：
解方程 $x^{3} - 100 x^{2} + 2000 x - 1500 = 0$ ，通过试值得根在区间（0,10）、（20,30）、（70,80），最终近似解为0.78、26.40、72.82。

扫码免费领取 Alevel 教材！涵盖数学、物理、化学等热门科目

内容详实、解析透彻，助力你在 Alevel 考试中斩获佳绩，开启顶尖学府之门

核心定理：若 $P (α) = 0$ ，则 $(x - α)$ 是 $P (x)$ 的因子。
应用举例：
- 验证 $(x - 5)$ 是否为 $x^{5} - 4 x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + 25$ 的因子：
  计算 $P (5) = 0$ ，故 $(x - 5)$ 是因子。
- 分数根：若 $q p$ 是多项式根，则 $(q x - p)$ 为因子（如 $x = 2 1$ 对应因子 $(2 x - 1)$ ）。

四次方程示例：
$x^{4} - 4 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x - 24 = 0$
- 已知根 $x = 1$ ，分解为 $(x - 1) (x^{3} - 3 x^{2} - 10 x + 24)$ 。
- 进一步分解三次多项式得： $(x - 1) (x - 2) (x - 4) (x + 3)$ ，解为 $x = - 3, 1, 2, 4$ 。
长除法与系数调整：
通过系统化的多项式除法或系数重组，逐步分解高次多项式。

完全分解：
将多项式分解为线性因子和不可约二次因子的乘积。
示例：
$x^{4} + 3 x^{3} - 11 x^{2} - 19 x - 6 = 0$
- 分解为 $(x + 1) (x - 3) (x^{2} + 5 x + 2)$ ，二次方程解为 $x = - 4.56, - 0.438$ 。

定理：多项式 $P (x)$ 除以 $(x - α)$ 的余数为 $P (α)$ 。
应用：
- 计算余数：如 $x^{3} + 6 x^{2} + x - 7$ 除以 $x + 1$ ，余数为 $P (- 1) = - 1$ 。
- 表达式形式：
  $P (x) = (x - α) Q (x) + R \Rightarrow R = P (α)$

题目类型：
- 因式分解多项式（如 $x^{4} - 3 x^{3} - 10 x^{2} - x + 5$ ）。
- 解高次方程（如四次方程 $x^{4} + 8 x^{3} - 13 x^{2} - 32 x + 36 = 0$ ）。
- 应用余数定理求参数（如确定多项式系数使余数满足条件）。
- 根式运算与证明（如证明 $3$ 无理）。

本章系统性地讲解了高次多项式的因式分解、方程求解技巧，以及相关定理（因子定理、余数定理）的应用。通过实际问题引入抽象概念，辅以大量例题和练习，帮助学生掌握从三次方程到更高次多项式的代数操作，并拓展到无理数的性质与运算。

以上就是关于【Alevel数学教材下载《Chapter6 Extending Aigebra》】的内容，如需了解Alevel课程动态，可至Alevel课程资源网获取更多信息。

Author