看到数列的正负号不断交替，有些同学会直接判断它没有极限。A-Level数学学习中，需要分开观察每一项、部分和以及误差的大小。下面是原创演算；具体课程范围应结合考试局、科目代码和考试年份核对。
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先写四项，而不是立即套无穷和公式
考虑首项为1、公比r=-1/2的等比数列：1、-1/2、1/4、-1/8。前四项和为1-1/2+1/4-1/8=5/8。每一项的符号交替，绝对值却每次减半。
前一至四项的和分别为1、1/2、3/4、5/8。它们没有一直增加或一直减少，但这不等于不能接近同一个数。判断收敛不能只检查部分和是否单调。
保留公比的符号，写出有限项和
前n项和S_n=[1-(-1/2)^n]/[1-(-1/2)]=(2/3)[1-(-1/2)^n]。分母是3/2，不是1/2；忽略负号会在第一步就改变结果。
当n增大时，(-1/2)^n的绝对值趋于零，因此S_n趋于2/3。用n=4代回有限项公式，得到(2/3)(1-1/16)=5/8，与直接相加一致。有限项核对能帮助发现公式中的括号错误。
来回靠近，与误差越来越小可以同时成立
S_n与2/3的差为-(2/3)(-1/2)^n，误差绝对值是(2/3)(1/2)^n。奇数项部分和在极限上方，偶数项部分和在下方；两边的距离都逐次减半。
前四项和与无穷和相差2/3-5/8=1/24。这里的误差有明确数值，不能因为“已经加了四项”就自行断定足够准确；是否足够要看题目要求的精度。
为什么同样有负号，公比为负一却不同
若公比改成-1，部分和会在1与0之间切换，距离没有缩小，也就没有同一个极限。等比无穷和公式要求|r|小于1；仅知道r小于1并不够，因为-2也小于1，却不满足绝对值条件。
复习时把“确认等比、写有限项和、核对收敛条件、计算极限”分成四步。向学习顾问说明自己卡在负号、有限和还是条件判断，能让后续练习更有针对性，也避免把背熟公式误当成已经理解适用范围。
延伸阅读：A-Level二项式展开：求x²的系数，为什么不必把整式全部展开。
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