复合函数容易出现一种半对的答案：公式代入正确，却给了不允许的输入。下面是原创数学练习，重点是把每一步的输入要求连起来。不同考试局的记号和课程范围应结合当前大纲及课堂要求核对。
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把两个函数的限制写完整
设f(x)=√x，题目指定f的定义域为0≤x≤4；另设g(x)=x−1，定义域为全体实数。这里f的输入上限4来自题目约定，不能因为根式对所有非负数有意义，就自行扩大定义域。
为避免只凭字母顺序猜，可以画两条流程：x先经过g，再把结果送入f；以及x先经过f，再把结果送入g。两条流程要求检查的条件不同。
先做g，再做f
先做g得到x−1，送入f后得到f(g(x))=√(x−1)。除了检查根号内非负，还必须满足f原有的输入上限，因此要同时有0≤x−1≤4。
整理得到1≤x≤5。在这条流程中，x=5可以使用，因为g(5)=4正好是f允许的输入；x=6不能使用，尽管√5作为一个实数本身存在，因为g(6)=5超过了题目给f规定的范围。
先做f，再做g
这次先做f，所以原始输入必须满足0≤x≤4。得到√x后，再做g，结果为g(f(x))=√x−1。g没有额外的输入限制，因此最终定义域仍是0≤x≤4。
取x=4，两种复合分别给出√3和1，已经足以说明结果通常不同。取x=0，先f后g可得到−1，而先g后f不能使用；这又说明两种顺序不仅可能改变值，还可能改变允许输入的集合。
核对答案时同时检查三件事
先写清流程，再写化简后的表达式，最后把每一步的限制转换成原变量x的条件。边界值特别有用：本例检查0、1、4、5，就能发现漏掉原定义域上限的答案。
不要仅因两个表达式在某个输入下相等，就宣布它们是相同函数；还需要比较定义域及所有允许输入下的输出。准备A-Level数学时，可带上考试局、函数题原始限制和自己的流程图，针对“在哪一步丢了条件”进行复盘。
延伸阅读：A-Level数学对数不等式：解出上界以后，别漏掉定义域。
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