求反函数时，交换x和y只是整理关系，不能保证得到唯一输出。A-Level数学学习中，二次函数尤其适合用来检查：题目给出的定义域，究竟在最后一步起什么作用？下面的例子是原创练习，具体课程要求仍应结合考试局和所读版本核对。
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先把二次式写成容易看出范围的形式
设f(x)=x²+2x+3=(x+1)²+2。若允许全部实数输入，x=0和x=−2都会得到3。因此只知道输出3，无法唯一找回原来的输入，整个实数范围上的这个函数没有单值反函数。
这不是计算出了两个根就随便删掉一个的问题，而是原函数是否一一对应的问题。先用一对简单输入反例检查，会比直接记忆反函数公式更可靠。
原定义域为x≥−1时选择正分支
写y=(x+1)²+2，得到x+1=±√(y−2)。原条件x≥−1说明x+1≥0，所以这里应选x=−1+√(y−2)。把反函数的输入变量改写为x，可得f⁻¹(x)=−1+√(x−2)，其定义域为x≥2，值域为输出不小于−1。
注意，反函数符号中的−1不是倒数。也不能把原来的x≥−1直接当成反函数的定义域：反函数接受的是原函数的输出。
换成左半边时，负分支才符合条件
如果原函数改限于x≤−1，那么x+1≤0，反函数就应为−1−√(x−2)，定义域仍是x≥2，值域则为输出不大于−1。两种情况使用相同二次式，也有相同原值域，却返回不同的输入位置。
例如反函数输入6，右半边返回1，左半边返回−3；代入原式，两者都得到6。决定选择哪个数的，是原函数允许使用哪一侧，而不是平方根本身只有一种写法。
用两层检查结束解答
第一层是代回：对右半边有f(−1+√(x−2))=x，但这一步必须在x≥2时进行。第二层是范围：返回的数确实落在原先规定的区间。只检查代回相等而不检查范围，可能仍保留不属于原函数定义域的分支。
整理笔记时，把原定义域、原值域、所选符号和反函数定义域放在一起。若一道题卡住，带上图像与选分支的理由讨论，通常比重复交换变量更能定位问题；不要把同一结果推广为所有考试局的固定答题模板。
延伸阅读：A-Level数学对数不等式：解出上界以后，别漏掉定义域。
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