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Alevel高等数学2016年真题下载《Cambridge International A Level Further Mathematics Paper 2 October/November 2016》

这是Cambridge International A Level Further Mathematics Paper 2 的试卷，对应 2016年10月/11月考试。以下是对信息的详细解读，以及对考生备考的指导建议。

内容分析

文件信息

考试体系：Cambridge International Examinations（剑桥国际考试）。
考试级别：Cambridge International Advanced Level（剑桥国际高级水平，A Level）。
科目：Further Mathematics（高等数学）。
试卷编号：9231/23。
- 9231：科目代码，代表 Further Mathematics。
- 23：试卷代码，表示 Paper 2，时区代码为 23。
考试时间：October/November 2016（2016年10月/11月考试）。
考试时长：3小时。
附加材料：List of Formulae (MF10)（公式表 MF10）。
页数说明：试卷共 6页，另有 2页空白页 和 1页插页。

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考试说明

提供了重要的考试说明，考生需要严格遵守以下要求：

1. 答题材料

提供 答题册（answer booklet），考生需在答题册内作答。
如果需要额外答题纸，需向监考人员申请。

2. 答题要求

全答：考生需回答所有问题。
数值精度：
- 非精确数值答案需保留 3位有效数字。
- 角度答案需保留到 1位小数（单位为度），除非题目另有要求。
重力加速度：若题目需要使用重力加速度，规定值为 $g = 10 m/s^{2}$ 。
计算器使用：
- 考试允许使用计算器，考生需熟练掌握其操作。
- 注意：仅提供计算器结果而无步骤或推导过程的答案将不获分。

3. 答题清晰度

答案需清晰呈现，逻辑严谨，避免因书写或表达不清而失分。

4. 分值提示

每道题或每部分题目的分值标注在题目末尾，便于考生合理分配时间。

5. 考试结束

考试结束后，需将所有答题材料整理并装订好。

试卷特点

1. 试卷结构

Paper 2 是 Further Mathematics 的核心试卷之一，主要考查高等数学的理论和应用。
题目通常包括：
- 纯数学部分：如微积分、线性代数、复数、矩阵等。
- 应用数学部分：如力学、概率与统计等。

2. 题目类型

多步骤计算题：需要详细的推导和计算过程。
证明题：要求考生进行数学推导或逻辑证明。
问题解决题：结合数学概念解决实际问题。

3. 考试时间

考试时长为 3小时，考生需合理分配时间，确保完成所有题目。

4. 使用公式表

提供 MF10 公式表，考生需熟悉其内容和使用方法，以便快速查找所需公式。

备考建议

为了在剑桥 A Level Further Mathematics Paper 2 中取得高分，考生需要充分准备并掌握以下技巧：

1. 熟悉考试大纲

复习 Further Mathematics 的核心主题，包括：
- 纯数学：微积分、复数、矩阵、向量、微分方程等。
- 应用数学：概率、统计、力学等。
确保对所有知识点有全面理解，并能够灵活应用。

2. 熟练使用公式表

下载并熟悉 MF10 公式表，了解其中的公式和符号。
在练习中主动使用公式表，模拟考试环境。

3. 提升解题能力

步骤清晰：计算题需写出完整步骤，确保每一步都能获得得分。
逻辑严谨：证明题需使用清晰的逻辑推导，避免跳步或模糊表达。
准确性：注意数值答案的精度要求（如 3位有效数字或角度保留 1位小数）。

4. 合理分配时间

根据题目分值分配答题时间，避免在某一题目上花费过多时间。
建议在考试中预留 10-15分钟检查答案。

5. 强化计算器使用

熟练掌握考试允许的计算器功能，如矩阵计算、方程求解、统计分析等。
练习在计算器结果的基础上补充推导过程，避免因缺少步骤失分。

6. 练习历年真题

完成历年 Paper 2 真题，熟悉题目类型和难度。
使用评分标准（Mark Scheme）核对答案，分析错误并总结规律。

7. 模拟考试环境

在 3小时内完成一套完整的 Paper 2 真题，模拟真实考试环境。
训练在压力下快速解题和准确表达。

考试技巧

在考试中，考生需保持专注并高效作答。以下是一些实用技巧：

1. 仔细阅读题目

确保理解题目要求，特别是关键字（如 "prove", "show that", "find", "solve"）。
注意题目中的单位、精度要求和特殊条件。

2. 按分值分配时间

高分题目通常需要更多时间和步骤，合理安排答题顺序。

3. 检查答案

计算题需检查计算过程和结果是否符合题目要求。
证明题需检查逻辑推导是否完整。

4. 使用草稿纸

在草稿纸上进行初步计算和推导，再将清晰的答案写在答题册内。

5. 遇到难题时冷静处理

如果遇到难题，不要纠结太久，可暂时跳过，待完成其他题目后再回头解决。

剑桥 A Level Further Mathematics Paper 2 是一场高强度的数学考试，考生需具备扎实的数学基础和灵活的解题能力。通过熟悉考试要求、强化练习和掌握技巧，考生可以在考试中充分发挥实力。

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剑桥国际A Level进阶数学（9231）2016年10月/11月试卷2详解

问题1：简谐运动（SHM）

(i) 最大加速度
由简谐运动速度公式 $v^{2} = ω^{2} (a^{2} - x^{2})$ ，在C点（ $x = 4 - 3 = 1 m$ ）：

$4^{2} = ω^{2} (3^{2} - 1^{2}) \Rightarrow ω^{2} = 2 \Rightarrow ω = 2 rad/s$

最大加速度：

$a_{max} = ω^{2} \cdot a = 2 \cdot 3 = 6 m/s^{2}$

答案： $6 m/s^{2}$

(ii) 一分钟内的振荡次数
周期 $T = ω 2 π = 2 2 π \approx 4.443 s$ ，次数：

$T 60 \approx 13.5 \Rightarrow 13 次$

答案：13次

(iii) 从A到C的时间
从A到C的位移为4 m，对应角度 $θ = cos^{-1} (3 1)$ ，时间：

$t = ω θ + ω π /2 - θ \approx 1.35 s$

答案： $1.35 s$

问题2：碰撞动力学

(i) 碰撞后速度
在E点碰撞，平行于墙的速度分量不变，垂直分量按恢复系数 $e = 4 3$ ：

$v cos 7 5^{\circ} = 41 u cos β, v sin 7 5^{\circ} = 43 u sin β$

联立解得 $v = 5 2 u$ 。

(ii) 角度 $α$ 和恢复系数 $e$
在D点碰撞，速度分量关系：

$u cos α = v cos 7 5^{\circ}, e u sin α = v sin 7 5^{\circ}$

代入 $v = 5 2 u$ ，解得 $α \approx 85. 8^{\circ}$ ， $e \approx 0.274$ 。
答案： $α \approx 85. 8^{\circ}$ ， $e \approx 0.274$

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问题3：静力学平衡

(i) $sin θ = 5 3$
几何分析：高度差 $7 a$ ，杆长 $8 a$ ，得 $sin θ = 5 3$ 。

(ii) 摩擦系数 $μ$
力矩平衡方程：

$kW \cdot 4 a sin θ + W \cdot 7 a sin θ = μ W \cdot (4 a cos θ + 7 a cos θ)$

代入 $sin θ = 5 3$ ，解得 $μ = 7 4$ 。

(iii) 证明 $k = 5$
合力平方和：

$(k + 2)^{2} W^{2} + (74 (k + 2) W)^{2} = 65 W^{2}$

解得 $k = 5$ 。

问题4：圆周运动与碰撞

(i) 碰撞后速度
机械能守恒：

$21 m \cdot 313 a g = 21 (λ + 1) m \cdot v^{2} \Rightarrow v =$

(ii) 求 $λ$
弦松弛条件：

$21 (λ + 1) m \cdot v^{2} = (λ + 1) m g \cdot 3 a \Rightarrow λ = 32$

(iii) 张力变化
碰撞前张力 $T_{1} = 3 28 m g$ ，碰撞后 $T_{2} = 3 20 m g$ ，变化：

$Δ T = 38 m g$

问题5：指数分布

(i) 参数 $a$
均值 $1/ a = 10000 \Rightarrow a = 1 0^{-4}$ 。

(ii) $P (X < 15000)$

$P = 1 - e^{-10 -4 \cdot 15000} \approx 0.777$

(iii) 分位数 $d$

$e$

问题6：假设检验

t检验：
样本均值 $x ˉ = 6.246$ ，方差 $s^{2} = 0.112$ ，t统计量：

$t = s / 8 6.246 - 6.44 \approx - 1.64$

临界值 $t_{7, 0.95} = 1.895$ ，因 $- 1.64 > - 1.895$ ，不拒绝原假设。

问题7：概率密度函数

(i) 分布函数

$F (x) = \int_{2 x} 61 t d t = 12 x ^{2} - 31 (2 \leq x \leq 4)$

(ii) $Y = X^{3}$ 的密度函数

$g (y) = 181 y^{-1/3} (8 \leq y \leq 64)$

(iii) 求 $k$

$P (Y \geq k) = 127 \Rightarrow k = 27$

问题8：置信区间

(i) 合并方差

$s_{p 2} = 10859 \cdot 406.78 + 49 \cdot 320.41 \approx 367.6$

(ii) 95%置信区间

$16 \pm 1.96 60367.6 + 50367.6 \approx [8.8, 23.2]$

问题9：泊松分布拟合

(i) 均值方差
均值 $\approx 4.0$ ，方差 $\approx 3.57$ ，接近泊松分布。

(ii) 缺失期望值
泊松分布 $λ = 4$ ，计算得缺失值为 $1.10$ （0次）和 $8.79$ （2次）。

(iii) 卡方检验
合并后卡方统计量 $χ^{2} = 5.29$ ，临界值 $9.24$ ，不拒绝原假设。

问题10：刚体转动

(i) 圆盘转动惯量

$I_{disc} = 21 \cdot 21 m a^{2} + 21 m (2 a)^{2} = 413 m a^{2}$

(ii) 总转动惯量
叠加各部分得 $I_{total} = 3 52 m a^{2}$ 。

(iii) 角度 $θ$
能量守恒：

$21 I ω_{02} = 7 m g a (1 - cos θ) \Rightarrow cos θ = 218$

本卷综合性强，需细致应用物理定律、统计方法和数学推导，确保每一步逻辑严密，计算准确。

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剑桥国际A Level进阶数学9231/12试卷内容详解

试卷结构

本试卷共11题，满分100分，涵盖级数求和、多项式方程、线性代数、微分方程、积分应用、几何与复数等多个模块。题目注重对数学方法的综合应用与逻辑推理能力，以下为各题核心内容解析：

各题核心考点与解题思路

1. 级数求和与无限级数

要求：用差分法求 $\sum_{r = 1 n} ( 2 r ) ^{2} - 1 1$ ，并推导其无限级数值。
关键步骤：
1. 分式分解： $( 2 r - 1 ) ( 2 r + 1 ) 1 = 2 1 (2 r - 1 1 - 2 r + 1 1)$ 。
2. 裂项相消求和： $\sum_{r = 1 n} ( 2 r ) ^{2} - 1 1 = 2 n + 1 n$ 。
3. 无限级数： $\sum_{r = 1 \infty} ( 2 r ) ^{2} - 1 1 = 2 1$ 。
易错点：分式分解错误或求和时遗漏项。

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2. 三次方程构造

已知条件： $α + β + γ = 3$ ， $α^{2} + β^{2} + γ^{2} = 1$ ， $α^{3} + β^{3} + γ^{3} = - 30$ 。
关键公式：
$α^{3} + β^{3} + γ^{3} = (α + β + γ)^{3} - 3 (α + β + γ) (α β + β γ + γ α) + 3 α β γ$ 。
答案： $x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 7 = 0$ 。

3. 矩阵构造与对角化

要求：构造特征值为 $- 1, 1, 2$ ，对应特征向量为 $100, 110, 011$ 的矩阵 $A$ 。
关键步骤：
1. 矩阵对角化： $A = P D P^{-1}$ ，其中 $D$ 为特征值对角阵， $P$ 为特征向量矩阵。
2. 计算得 $A = -100 210 -212$ 。

4. 组合恒等式与数学归纳法

组合恒等式： $(r - 1 n) + (r n) = (r n + 1)$ （利用阶乘展开证明）。
归纳法：验证 $n = 1$ 成立，假设 $n = k$ 成立，证明 $n = k + 1$ 时二项式展开式仍成立。

5. 线性变换分析

矩阵分析：
1. 秩：通过行变换化简矩阵，非零行数为3，故秩为3。
2. 值域空间基：选取矩阵的列向量中线性无关的前两列，如 $1236, 381324$ 。
3. 零空间基：解齐次方程组，得基向量 $-29502, -19320$ 。

6. 二阶微分方程求解

齐次解：特征方程 $m^{2} + 7 m + 10 = 0$ ，根为 $m = - 2, - 5$ ，解为 $x_{h} = A e^{-2 t} + B e^{-5 t}$ 。
特解：假设 $x_{p} = P sin 2 t + Q cos 2 t$ ，代入求得 $P = 3, Q = - 7$ 。
通解： $x = A e^{-2 t} + B e^{-5 t} + 3 sin 2 t - 7 cos 2 t$ 。
大 $t$ 近似解：稳态解 $x \approx 3 sin 2 t - 7 cos 2 t$ 。

7. 积分应用

平均导数： $均值 = 2 1 \int_{02} e^{-4 x} d x = 8 1 - e ^{-8} \approx 0.124$ 。
质心坐标： $x ˉ = \int ^{02} e ^{-2 x} d x \int ^{02} x e ^{-2 x} d x \approx 0.463$ ， $y ˉ = 2 1 \int_{02} e^{-4 x} d x \approx 0.255$ 。

8. 隐函数求导与极值判定

驻点条件：对 $x^{2} + 4 x y - y^{2} + 20 = 0$ 隐函数求导，得 $x = - 2 y$ 。
驻点坐标：解得 $(4, - 2)$ （极大）， $(- 4, 2)$ （极小）。

9. 积分与递推公式

积分计算： $\int_{0 π /2} x sin x d x = 1$ 。
递推公式：分部积分得 $I_{n} = n (2 π)^{n - 1} - n (n - 1) I_{n - 2}$ 。
变量替换：令 $x = cos^{-1} u$ ，积分结果为 $I_{3} = 4 3 π ^{2} - 6$ 。

10. 复数与三角积分

复数恒等式： $z^{n} + z^{- n} = 2 cos n θ$ ， $z^{n} - z^{- n} = 2 i sin n θ$ 。
三角恒等式展开： $sin^{4} θ cos^{2} θ = 32 1 (cos 6 θ - 2 cos 4 θ - cos 2 θ + 2)$ 。
定积分结果： $\int_{0 π /4} sin^{4} θ cos^{2} θ d θ = 192 3 π - 4$ 。

11. 几何与参数曲线（二选一）

几何部分：
1. 求两直线公垂线的端点 $P (3 i + j + 2 k)$ 和 $Q (i + 2 j - 3 k)$ 。
2. 平面方程： $Π : r = 3 i + j + 2 k + λ (3 i - 4 j - 2 k) + μ (法向量)$ 。
3. 交线方程：解平面与 $z = 0$ 的交线 $l_{3}$ 。
参数曲线部分：
1. 弧长： $\int_{0 1/ 3} (1 + 9 t^{2}) d t = 3 2$ 。
2. 表面积： $2 π \int y (d x / d t)^{2} + (d y / d t)^{2} d t = 3 π$ 。
3. 极坐标方程：消参得 $r = sec θ (1 - 3 tan^{2} θ)$ ，定义域 $0 \leq θ \leq 6 π$ 。
4. 面积： $2 1 \int_{0 π /6} r^{2} d θ = 8 π$ 。

本试卷全面考察了高等数学的核心内容，注重理论与应用的结合。解题时需注意公式的准确应用、逻辑的严密性以及计算的细致性，尤其在矩阵对角化、微分方程特解假设和参数曲线积分等部分需格外谨慎。

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