剑桥国际A Level进阶数学（9231）2016年10月/11月试卷2详解

问题1：简谐运动（SHM）

(i) 最大加速度
由简谐运动速度公式 $v^{2} = ω^{2} (a^{2} - x^{2})$ ，在C点（ $x = 4 - 3 = 1 m$ ）：

$4^{2} = ω^{2} (3^{2} - 1^{2}) \Rightarrow ω^{2} = 2 \Rightarrow ω = 2 rad/s$

最大加速度：

$a_{max} = ω^{2} \cdot a = 2 \cdot 3 = 6 m/s^{2}$

答案： $6 m/s^{2}$

(ii) 一分钟内的振荡次数
周期 $T = ω 2 π = 2 2 π \approx 4.443 s$ ，次数：

$T 60 \approx 13.5 \Rightarrow 13 次$

答案：13次

(iii) 从A到C的时间
从A到C的位移为4 m，对应角度 $θ = cos^{-1} (3 1)$ ，时间：

$t = ω θ + ω π /2 - θ \approx 1.35 s$

答案： $1.35 s$

问题2：碰撞动力学

(i) 碰撞后速度
在E点碰撞，平行于墙的速度分量不变，垂直分量按恢复系数 $e = 4 3$ ：

$v cos 7 5^{\circ} = 41 u cos β, v sin 7 5^{\circ} = 43 u sin β$

联立解得 $v = 5 2 u$ 。

(ii) 角度 $α$ 和恢复系数 $e$
在D点碰撞，速度分量关系：

$u cos α = v cos 7 5^{\circ}, e u sin α = v sin 7 5^{\circ}$

代入 $v = 5 2 u$ ，解得 $α \approx 85. 8^{\circ}$ ， $e \approx 0.274$ 。
答案： $α \approx 85. 8^{\circ}$ ， $e \approx 0.274$

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问题3：静力学平衡

(i) $sin θ = 5 3$
几何分析：高度差 $7 a$ ，杆长 $8 a$ ，得 $sin θ = 5 3$ 。

(ii) 摩擦系数 $μ$
力矩平衡方程：

$kW \cdot 4 a sin θ + W \cdot 7 a sin θ = μ W \cdot (4 a cos θ + 7 a cos θ)$

代入 $sin θ = 5 3$ ，解得 $μ = 7 4$ 。

(iii) 证明 $k = 5$
合力平方和：

$(k + 2)^{2} W^{2} + (74 (k + 2) W)^{2} = 65 W^{2}$

解得 $k = 5$ 。

问题4：圆周运动与碰撞

(i) 碰撞后速度
机械能守恒：

$21 m \cdot 313 a g = 21 (λ + 1) m \cdot v^{2} \Rightarrow v =$

(ii) 求 $λ$
弦松弛条件：

$21 (λ + 1) m \cdot v^{2} = (λ + 1) m g \cdot 3 a \Rightarrow λ = 32$

(iii) 张力变化
碰撞前张力 $T_{1} = 3 28 m g$ ，碰撞后 $T_{2} = 3 20 m g$ ，变化：

$Δ T = 38 m g$

问题5：指数分布

(i) 参数 $a$
均值 $1/ a = 10000 \Rightarrow a = 1 0^{-4}$ 。

(ii) $P (X < 15000)$

$P = 1 - e^{-10 -4 \cdot 15000} \approx 0.777$

(iii) 分位数 $d$

$e$

问题6：假设检验

t检验：
样本均值 $x ˉ = 6.246$ ，方差 $s^{2} = 0.112$ ，t统计量：

$t = s / 8 6.246 - 6.44 \approx - 1.64$

临界值 $t_{7, 0.95} = 1.895$ ，因 $- 1.64 > - 1.895$ ，不拒绝原假设。

问题7：概率密度函数

(i) 分布函数

$F (x) = \int_{2 x} 61 t d t = 12 x ^{2} - 31 (2 \leq x \leq 4)$

(ii) $Y = X^{3}$ 的密度函数

$g (y) = 181 y^{-1/3} (8 \leq y \leq 64)$

(iii) 求 $k$

$P (Y \geq k) = 127 \Rightarrow k = 27$

问题8：置信区间

(i) 合并方差

$s_{p 2} = 10859 \cdot 406.78 + 49 \cdot 320.41 \approx 367.6$

(ii) 95%置信区间

$16 \pm 1.96 60367.6 + 50367.6 \approx [8.8, 23.2]$

问题9：泊松分布拟合

(i) 均值方差
均值 $\approx 4.0$ ，方差 $\approx 3.57$ ，接近泊松分布。

(ii) 缺失期望值
泊松分布 $λ = 4$ ，计算得缺失值为 $1.10$ （0次）和 $8.79$ （2次）。

(iii) 卡方检验
合并后卡方统计量 $χ^{2} = 5.29$ ，临界值 $9.24$ ，不拒绝原假设。

问题10：刚体转动

(i) 圆盘转动惯量

$I_{disc} = 21 \cdot 21 m a^{2} + 21 m (2 a)^{2} = 413 m a^{2}$

(ii) 总转动惯量
叠加各部分得 $I_{total} = 3 52 m a^{2}$ 。

(iii) 角度 $θ$
能量守恒：

$21 I ω_{02} = 7 m g a (1 - cos θ) \Rightarrow cos θ = 218$

本卷综合性强，需细致应用物理定律、统计方法和数学推导，确保每一步逻辑严密，计算准确。

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