往届试卷 - 第 4 页

剑桥国际A Level进阶数学（9231）2016年10月/11月试卷1详解

1. 差分法求和

解答：
将分式分解为部分分式：

$( 2 r ) ^{2} - 11 = ( 2 r - 1 ) ( 2 r + 1 ) 1 = 21 (2 r - 11 - 2 r + 11)$

求和时中间项抵消，得到：

$r = 1 \sum n ( 2 r ) ^{2} - 11 = 21 (1 - 2 n + 11) = 2 n + 1 n$

当 $n \to \infty$ 时，极限为：

$r = 1 \sum \infty ( 2 r ) ^{2} - 11 = 21$

答案：
有限和为 $2 n + 1 n$ ；无限和为 $2 1$ 。

2. 三次方程构造

解答：
由根与系数关系：

$α + β + γ = 3, α β + β γ + γ α = 23 ^{2} - 1 = 4, α β γ = 3-30 - 3 ( 1 - 4 ) = - 7$

方程为：

$x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 7 = 0$

答案： $x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 7 = 0$ 。

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3. 矩阵构造

解答：
设特征向量矩阵 $P = 100110011$ ，对角矩阵 $D = diag (- 1, 1, 2)$ ，则 $A = P D P^{-1}$ 。计算得：

$A = -100 210 -212$

答案：矩阵如上述。

4. 组合恒等式与数学归纳法

解答：

组合恒等式：

$(r - 1 n) + (r n) = ( r - 1 )! ( n - r + 1 )! n ! + r ! ( n - r )! n ! = r ! ( n + 1 - r )! ( n + 1 )! = (r n + 1)$
归纳法：
- 基例： $n = 1$ 时成立。
- 假设： $n = k$ 时成立，即 $(a + x)^{k} = \sum_{r = 0 k} (r k) a^{k - r} x^{r}$ 。
- 递推：乘 $(a + x)$ 并合并项，利用组合恒等式，得证 $n = k + 1$ 时成立。

答案：恒等式与二项式定理均得证。

5. 线性变换分析

解答：

行化简：

$A \to 10003200 5-300 7-500, 秩为 2 。$
值域基：原矩阵前两列，如 $1236$ 和 $381324$ 。
零空间基：解方程组得基向量 $-29502$ 和 $-19320$ 。

答案：秩为2；值域基与零空间基如上述。

6. 微分方程求解

解答：

齐次解：特征方程 $m^{2} + 7 m + 10 = 0$ ，根 $m = - 2, - 5$ ，齐次解 $x_{h} = A e^{-2 t} + B e^{-5 t}$ 。
特解：设 $x_{p} = 3 sin 2 t - 7 cos 2 t$ ，代入求得系数。
通解：

$x = A e^{-2 t} + B e^{-5 t} + 3 sin 2 t - 7 cos 2 t$
长期近似解： $x \approx 3 sin 2 t - 7 cos 2 t$ 。

答案：通解如上；长期近似解为特解部分。

7. 曲线C的质心

解答：

平均导数：

$均值 = 21 \int_{02} (- 2 e^{-2 x}) d x = 21 - e ^{-4} \approx 0.491$
质心坐标：

$x ˉ = \int ^{02} e ^{-4 x} d x \int ^{02} x e ^{-4 x} d x \approx 0.463, y ˉ = 21 \cdot 面积 \int ^{02} e ^{-4 x} d x \approx 0.255$

答案： $x ˉ \approx 0.463$ ， $y ˉ \approx 0.255$ 。

8. 曲线C的驻点

解答：

隐函数求导：由 $x^{2} + 4 x y - y^{2} + 20 = 0$ ，求导得 $x = - 2 y$ 。
驻点坐标：解得 $(4, - 2)$ 和 $(- 4, 2)$ 。
二阶导数：在 $(4, - 2)$ 处 $d x ^{2} d ^{2} y = - 10 1$ （极大值），在 $(- 4, 2)$ 处 $d x ^{2} d ^{2} y = 10 1$ （极小值）。

答案：驻点为 $(4, - 2)$ （极大）和 $(- 4, 2)$ （极小）。

9. 积分递推与变量替换

解答：

$\int_{0 π /2} x sin x d x = 1$ 。
递推公式：

$I_{n} = n (2 π)^{n - 1} - n (n - 1) I_{n - 2}$
替换 $x = cos^{-1} u$ ：

$\int_{01} (cos^{-1} u)^{3} d u = \int_{0 π /2} x^{3} sin x d x = I_{3} = 43 π ^{2} - 6$

答案：积分值为 $4 3 π ^{2} - 6$ 。

10. 复数与三角积分

解答：

复数恒等式：由 $z^{n} \pm z^{- n} = 2 cos n θ \pm 2 i sin n θ$ 得证。
展开表达式：

$sin^{4} θ cos^{2} θ = 321 (cos 6 θ - 2 cos 4 θ - cos 2 θ + 2)$
积分：逐项积分得 $192 3 π - 4$ 。

答案：积分值为 $192 3 π - 4$ 。

11. 几何问题（选择EITHER）

解答：

垂线PQ：解方程组得 $P (3 i + j + 2 k)$ ， $Q (i + 2 j - 3 k)$ 。
平面方程： $r = 3 i + j + 2 k + λ (3 i - 4 j - 2 k) + μ k$ 。
直线l₃：参数方程 $r = - 1 i - 1 j + λ (4 i + 3 j)$ 。

答案：位置向量与方程如上述。

本卷覆盖高阶数学核心内容，需熟练掌握分式分解、矩阵对角化、微分方程等技巧，注重步骤严谨性。

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剑桥国际A Level进阶数学（9231）2016年10月/11月试卷1详解

1. 差分法求和

题目：用差分法求 $\sum_{r = 1 n} ( 2 r ) ^{2} - 1 1$ ，并推导无穷级数的值。
解答：

分式分解：

$( 2 r - 1 ) ( 2 r + 1 ) 1 = 21 (2 r - 11 - 2 r + 11)$
求和：

$r = 1 \sum n ( 2 r ) ^{2} - 11 = 21 (1 - 2 n + 11) = 2 n + 1 n$
无穷级数：
当 $n \to \infty$ 时， $2 n + 1 n \to 2 1$ 。

答案：
有限和为 $2 n + 1 n$ ；无限和为 $2 1$ 。

2. 三次方程构造

题目：已知根 $α, β, γ$ 满足 $α + β + γ = 3$ ， $α^{2} + β^{2} + γ^{2} = 1$ ， $α^{3} + β^{3} + γ^{3} = - 30$ ，求三次方程。
解答：

根与系数关系：
- $\sum α β = 2 ( \sum α ) ^{2} - \sum α ^{2} = 2 9 - 1 = 4$
- $α β γ = 3 \sum α ^{3} - ( \sum α ) ( \sum α ^{2} - \sum α β ) = 3 -30 - 3 ( 1 - 4 ) = - 7$
方程形式：

$x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 7 = 0$

答案：方程为 $x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 7 = 0$ 。

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3. 矩阵构造

题目：求矩阵 $A$ ，其特征值为 $- 1, 1, 2$ ，对应特征向量为 $100, 110, 011$ 。
解答：

对角化：设 $P = 100110011$ ， $D = diag (- 1, 1, 2)$ ，则 $A = P D P^{-1}$ 。
计算 $A$ ：

$A = -100 210 -212$

答案：矩阵如上述。

4. 组合恒等式与数学归纳法

题目：证明 $(r - 1 n) + (r n) = (r n + 1)$ ，并用归纳法证明二项式定理。
解答：

阶乘展开：

$(r - 1 n) + (r n) = ( r - 1 )! ( n - r + 1 )! n ! + r ! ( n - r )! n ! = r ! ( n + 1 - r )! ( n + 1 )! = (r n + 1)$
归纳法：
- 基例： $n = 1$ 时成立。
- 假设：对 $n = k$ 成立，即 $(a + x)^{k} = \sum_{r = 0 k} (r k) a^{k - r} x^{r}$ 。
- 递推：乘 $(a + x)$ 并合并同类项，利用组合恒等式，得证 $n = k + 1$ 成立。

答案：恒等式与二项式定理均得证。

5. 线性变换分析

题目：求矩阵 $A$ 的秩、值域基和零空间基。
解答：

行化简：

$A \to 10003200 5-300 7-500$

秩为2。
值域基：原矩阵前两列线性无关，如 $1236$ 和 $381324$ 。
零空间基：解 $x + 3 y + 5 z + 7 t = 0$ 和 $2 y - 3 z - 5 t = 0$ ，得基向量 $-29502$ 和 $-19320$ 。

答案：秩为2；值域基与零空间基如上述。

本试卷涵盖高阶数学的多个核心领域，需熟练掌握分式分解、矩阵对角化、微分方程求解等技巧，并注重步骤的严谨性与逻辑性。

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剑桥国际A Level进阶数学9231/23试卷评分标准详解

总体结构

本试卷共11题，满分100分，覆盖力学、统计学、概率分布、假设检验、转动惯量等多个模块。评分标准分为 M（方法分）、A（准确分） 和 B（独立结果分），具体细则如下：

M分：对正确方法的应用，即使计算有误也可得分。
A分：基于正确方法的精确答案或中间步骤。
B分：独立于方法的结果或陈述，仅需最终正确。

各题核心考点与评分要点

1. 简谐运动（SHM）

核心步骤：
1. 通过能量守恒求最大加速度： $a_{max} = ω^{2} \cdot 振幅$ （M1A1）。
2. 周期计算： $T = ω 2 π$ ，60秒内完整周期数取整数（M1A1）。
3. 时间计算：分阶段积分或使用反三角函数（M1A1）。
易错点：方向符号错误或周期取整错误。

2. 碰撞问题

核心步骤：
1. 动量守恒：分解速度分量，注意恢复系数 $e$ 的定义（M1A1）。
2. 角度计算：利用三角函数关系 $tan β = 平行分量垂直分量$ （M1A1）。
易错点：速度分量方向混淆或恢复系数公式错误。

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3. 静力学平衡

核心步骤：
1. 力矩平衡方程：选择合适支点（如B点）列方程（M1A1）。
2. 摩擦力计算： $μ = R ^{A} F ^{A}$ ，需结合平衡方程求解（M1A1）。
易错点：支点选择不当或力矩正负号错误。

4. 圆周运动与能量守恒

核心步骤：
1. 能量守恒求速度： $v_{1} = u^{2} + 2 g q$ ，碰撞后速度 $v_{2} = λ + 1 v ^{1}$ （M1A1）。
2. 绳子松弛条件：径向加速度 $a v ^{2} = g cos θ$ ，结合能量方程求角度（M1A1）。
易错点：能量方程遗漏重力势能或径向加速度方向错误。

5. 指数分布

核心步骤：
1. 参数计算： $a = 均值 1$ （B1）。
2. 概率积分： $P (X < 15000) = 1 - e^{-15} \approx 0.777$ （M1A1）。
3. 分位数求解： $d = - a l n ( 0.25 ) \approx 2880$ （M1A1）。
易错点：指数函数积分错误或分位数公式混淆。

6. 假设检验（t检验）

核心步骤：
1. 样本方差计算： $s^{2} = n - 1 \sum x ^{2} - n x ˉ ^{2}$ （M1）。
2. t统计量： $t = s / n x ˉ - μ$ ，与临界值 $t_{表}$ 比较（M1A1）。
易错点：自由度选择错误或显著性水平混淆。

7. 概率密度函数（PDF）与分布变换

核心步骤：
1. 分布函数积分： $F (x) = \int_{2 x} 6 t d t$ （M1A1）。
2. 随机变量变换： $Y = X^{3}$ 的 PDF 通过链式法则求导（M1A1）。
易错点：积分限错误或变换后变量范围未调整。

8. 置信区间估计

核心步骤：
1. 合并方差计算： $s_{p 2} = n ^{1} + n ^{2} - 2 ( n ^{1} - 1 ) s ^{12} + ( n ^{2} - 1 ) s ^{22}$ （M1A1）。
2. 置信区间公式： $(x ˉ_{1} - x ˉ_{2}) \pm z_{α /2} n ^{1} s ^{p 2} + n ^{2} s ^{p 2}$ （M1A1）。
易错点：自由度计算错误或z值查表错误。

9. 卡方拟合优度检验

核心步骤：
1. 合并低期望频数类别：确保每类期望值 ≥5（M1）。
2. 卡方统计量： $χ^{2} = \sum E ^{i} ( O ^{i} - E ^{i} ) ^{2}$ ，与临界值比较（M1A1）。
易错点：类别合并不当或自由度计算错误。

10. 转动惯量与能量守恒

核心步骤：
1. 平行轴定理：计算复杂系统的转动惯量（M1A1）。
2. 能量守恒： $2 1 I ω^{2} = m g h (1 - cos θ)$ ，求角度（M1A1）。
易错点：惯量叠加错误或能量转换遗漏。

11. 线性回归与假设检验

核心步骤：
1. 缺失数据估计：通过均值方程求解 $x_{5}, y_{5}$ （M1A1）。
2. 相关系数计算： $r = S ^{xx} S ^{yy} S ^{x y}$ ，检验显著性（M1A1）。
易错点：数据代入错误或假设检验方向混淆。

评分注意事项

单位与精度：数值需保留3位有效数字，单位缺失可能扣分。
依赖分（DM/DB）：后续步骤依赖前序结果时，仅扣一次分。
特殊符号：如“AG”表示题目已给答案，需验证推导过程。

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剑桥国际A Level进阶数学（9231）2016年10月/11月考试试卷2的官方评分标准解析

该文件是剑桥国际A Level进阶数学（9231）2016年10月/11月考试试卷2的官方评分标准，内容涵盖10道题目的详细解题步骤与分数分配规则。以下是核心内容的梳理：

文件结构

封面信息
- 科目：进阶数学（Further Mathematics）
- 试卷代码：9231/22
- 满分：100分
- 发布日期：2016年10月/11月
评分标准说明
- M分（方法分）：奖励正确的解题方法，即使计算有误。
- A分（准确分）：答案或中间步骤正确，需基于有效方法。
- B分（结果分）：独立于方法的正确结论或陈述。
- 其他规则：如单位错误扣分（PA-1）、误读题目扣分（MR-1）等。

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题目解析与评分重点

问题1：简谐运动（SHM）

关键步骤：
- 角速度 $ω$ 的推导：
  
  $4^{2} = ω^{2} (3^{2} - 1^{2}) \Rightarrow ω^{2} = 2 \Rightarrow ω = 2$
- 最大加速度： $a_{max} = ω^{2} x_{max} = 6 m/s^{2}$ 。
- 周期 $T = ω 2 π$ ，计算60秒内的完整振荡次数（13次）。
分数分配：M1（能量守恒）、A1（角速度）、B1（周期结果）。

问题2：碰撞动力学

关键步骤：
- 动量守恒与速度分量分析：
  
  $v = 5 2 u (恢复系数 e = 0.274)$
- 方向角计算： $α = 85. 8^{\circ}$ 。
分数分配：M1（分量分解）、A1（速度关系）、B1（角度结果）。

问题3：静力学平衡

关键步骤：
- 力矩平衡方程：绕点 $B$ 的力矩分析，解得反力 $R_{A} = (k + 2) W$ 。
- 验证 $k = 5$ ：合力满足 $W 65$ 。
分数分配：M1（力矩方程）、A1（代数化简）、B1（最终参数）。

问题4：圆周运动与能量守恒

关键步骤：
- 最低点速度： $v_{1} = 5 λ q g$ 。
- 碰撞后速度： $v_{2} = λ + 1 v ^{1}$ 。
- 弦松弛条件：能量守恒与径向力的平衡。
分数分配：M1（能量方程）、A1（速度传递）、B1（张力变化）。

问题5：指数分布应用

关键步骤：
- 参数 $a = 1 0^{-4}$ 。
- 概率计算： $P (X < 15000) = 1 - e^{-1.5} \approx 0.777$ 。
- 分位数 $d = 2877$ （满足75%存活率）。
分数分配：M1（分布函数）、A1（积分结果）、B1（分位数）。

问题6：假设检验（t检验）

关键步骤：
- 样本均值 $x = 6.44$ ，样本方差 $s^{2} = 0.112$ 。
- t值计算： $t = 1.64$ ，与临界值 $t_{7, 0.95} = 1.895$ 比较，接受原假设。
分数分配：M1（方差估计）、A1（t值）、B1（结论）。

问题7：概率密度函数变换

关键步骤：
- 分布函数 $F (x) = 12 x ^{2} - 3 1$ （ $2 \leq x \leq 4$ ）。
- $Y = X^{3}$ 的密度函数： $g (y) = 18 1 y^{-1/3}$ （ $8 \leq y \leq 64$ ）。
分数分配：M1（变量替换）、A1（导数计算）、B1（定义域）。

问题8：双样本置信区间

关键步骤：
- 合并方差： $s_{p 2} = 367.6$ 。
- 均值差置信区间： $16 \pm 7.2$ （95%置信水平）。
分数分配：M1（方差合并）、A1（Z值）、B1（区间结果）。

问题9：卡方拟合优度检验

关键步骤：
- 合并单元格以确保期望频数 > 5。
- 卡方统计量 $χ^{2} = 5.29$ ，小于临界值 $9.24$ ，接受原假设。
分数分配：M1（期望频数）、A1（卡方计算）、B1（结论）。

问题10：刚体转动与能量守恒

关键步骤：
- 转动惯量： $I = 3 52 m a^{2}$ 。
- 角速度 $ω_{0} = 2 a g$ ，能量守恒解得 $cos θ = 21 8$ 。
分数分配：M1（惯量计算）、A1（能量方程）、B1（角度结果）。

该评分标准强调解题逻辑与关键步骤的分数分配，涵盖力学、概率统计、动力学等多个领域。对教师而言，是批改参考；对学生而言，是规范答题的重要指南。需注意单位、符号方向及统计检验的适用条件，避免常见错误。

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剑桥国际A Level进阶数学9231/21试卷评分标准详解

总体结构

本试卷共11题，满分100分，覆盖力学、统计学、概率分布、假设检验、转动惯量等多个模块。评分标准分为 M（方法分）、A（准确分） 和 B（独立结果分），核心要点如下：

M分：正确方法的应用，即使计算有误也可得分。
A分：基于正确方法的精确答案或中间步骤。
B分：独立于方法的结果或陈述，仅需最终正确。

各题核心考点与评分要点

1. 简谐运动（SHM）

核心步骤：
1. 通过能量守恒求最大加速度： $a_{max} = ω^{2} \cdot 振幅$ （M1A1）。
2. 周期计算： $T = ω 2 π$ ，60秒内完整周期数取整数（M1A1）。
3. 时间计算：分阶段积分或使用反三角函数（M1A1）。
易错点：方向符号错误或周期取整错误。

2. 碰撞问题

核心步骤：
1. 动量守恒：分解速度分量，注意恢复系数 $e$ 的定义（M1A1）。
2. 角度计算：利用三角函数关系 $tan β = 平行分量垂直分量$ （M1A1）。
易错点：速度分量方向混淆或恢复系数公式错误。

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3. 静力学平衡

核心步骤：
1. 力矩平衡方程：选择合适支点（如B点）列方程（M1A1）。
2. 摩擦力计算： $μ = R ^{A} F ^{A}$ ，需结合平衡方程求解（M1A1）。
易错点：支点选择不当或力矩正负号错误。

4. 圆周运动与能量守恒

核心步骤：
1. 能量守恒求速度： $v_{1} = u^{2} + 2 g q$ ，碰撞后速度 $v_{2} = λ + 1 v ^{1}$ （M1A1）。
2. 绳子松弛条件：径向加速度 $a v ^{2} = g cos θ$ ，结合能量方程求角度（M1A1）。
易错点：能量方程遗漏重力势能或径向加速度方向错误。

5. 指数分布

核心步骤：
1. 参数计算： $a = 均值 1$ （B1）。
2. 概率积分： $P (X < 15000) = 1 - e^{-15} \approx 0.777$ （M1A1）。
3. 分位数求解： $d = - a l n ( 0.25 ) \approx 2880$ （M1A1）。
易错点：指数函数积分错误或分位数公式混淆。

6. 假设检验（t检验）

核心步骤：
1. 样本方差计算： $s^{2} = n - 1 \sum x ^{2} - n x ˉ ^{2}$ （M1）。
2. t统计量： $t = s / n x ˉ - μ$ ，与临界值 $t_{表}$ 比较（M1A1）。
易错点：自由度选择错误或显著性水平混淆。

7. 概率密度函数（PDF）与分布变换

核心步骤：
1. 分布函数积分： $F (x) = \int_{2 x} 6 t d t$ （M1A1）。
2. 随机变量变换： $Y = X^{3}$ 的 PDF 通过链式法则求导（M1A1）。
易错点：积分限错误或变换后变量范围未调整。

8. 置信区间估计

核心步骤：
1. 合并方差计算： $s_{p 2} = n ^{1} + n ^{2} - 2 ( n ^{1} - 1 ) s ^{12} + ( n ^{2} - 1 ) s ^{22}$ （M1A1）。
2. 置信区间公式： $(x ˉ_{1} - x ˉ_{2}) \pm z_{α /2} n ^{1} s ^{p 2} + n ^{2} s ^{p 2}$ （M1A1）。
易错点：自由度计算错误或z值查表错误。

9. 卡方拟合优度检验

核心步骤：
1. 合并低期望频数类别：确保每类期望值 ≥5（M1）。
2. 卡方统计量： $χ^{2} = \sum E ^{i} ( O ^{i} - E ^{i} ) ^{2}$ ，与临界值比较（M1A1）。
易错点：类别合并不当或自由度计算错误。

10. 转动惯量与能量守恒

核心步骤：
1. 平行轴定理：计算复杂系统的转动惯量（M1A1）。
2. 能量守恒： $2 1 I ω^{2} = m g h (1 - cos θ)$ ，求角度（M1A1）。
易错点：惯量叠加错误或能量转换遗漏。

11. 线性回归与假设检验

核心步骤：
1. 缺失数据估计：通过均值方程求解 $x_{5}, y_{5}$ （M1A1）。
2. 相关系数计算： $r = S ^{xx} S ^{yy} S ^{x y}$ ，检验显著性（M1A1）。
易错点：数据代入错误或假设检验方向混淆。

评分注意事项

单位与精度：数值需保留3位有效数字，单位缺失可能扣分。
依赖分（DM/DB）：后续步骤依赖前序结果时，仅扣一次分。
特殊符号：如“AG”表示题目已给答案，需验证推导过程。

通过系统化掌握各题评分要点与易错点，考生可针对性强化薄弱环节，提高解题效率与准确性。

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