A-Level 数学知识点

1. 二项式定理：用于展开形如 的表达式。
2. 组合数公式：。
3. 多项式乘法：用于计算多项式的乘积。

解题步骤

(a) 展开 \(\left(1 - \frac{1}{6}x\right)^9\) 的前四项

根据二项式定理：

\[
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
\]

对于 \(\left(1 - \frac{1}{6}x\right)^9\)，我们有 \(a = 1\) 和 \(b = -\frac{1}{6}x\)。

展开前四项：

1. 第 0 项：

\[
\binom{9}{0} (1)^9 \left(-\frac{1}{6}x\right)^0 = 1
\]

2. 第 1 项：

\[
\binom{9}{1} (1)^8 \left(-\frac{1}{6}x\right)^1 = 9 \left(-\frac{1}{6}x\right) = -\frac{9}{6}x = -\frac{3}{2}x
\]

3. 第 2 项：

\[
\binom{9}{2} (1)^7 \left(-\frac{1}{6}x\right)^2 = 36 \left(\frac{1}{36}x^2\right) = x^2
\]

4. 第 3 项：

\[
\binom{9}{3} (1)^6 \left(-\frac{1}{6}x\right)^3 = 84 \left(-\frac{1}{216}x^3\right) = -\frac{84}{216}x^3 = -\frac{7}{18}x^3
\]

前四项为：

\[
1 - \frac{3}{2}x + x^2 - \frac{7}{18}x^3
\]

(b) 求 \((10x + 3)\left(1 - \frac{1}{6}x\right)^9\) 中 \(x^3\) 的系数

我们需要找到 \((10x + 3)\) 和展开的乘积中 \(x^3\) 的系数。

展开为：

\[
(10x + 3)(1 - \frac{3}{2}x + x^2 - \frac{7}{18}x^3)
\]

计算 \(x^3\) 项：

- \(10x \cdot x^2 = 10x^3\)
- \(3 \cdot -\frac{7}{18}x^3 = -\frac{7}{6}x^3\)

系数为：

\[
10 - \frac{7}{6} = \frac{60}{6} - \frac{7}{6} = \frac{53}{6}
\]

因此，\(x^3\) 的系数为 \(\frac{53}{6}\)。

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