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剑桥国际A Level进阶数学（9231）2016年10月/11月考试试卷2的官方评分标准解析

该文件是剑桥国际A Level进阶数学（9231）2016年10月/11月考试试卷2的官方评分标准，内容涵盖10道题目的详细解题步骤与分数分配规则。以下是核心内容的梳理：

文件结构

封面信息
- 科目：进阶数学（Further Mathematics）
- 试卷代码：9231/22
- 满分：100分
- 发布日期：2016年10月/11月
评分标准说明
- M分（方法分）：奖励正确的解题方法，即使计算有误。
- A分（准确分）：答案或中间步骤正确，需基于有效方法。
- B分（结果分）：独立于方法的正确结论或陈述。
- 其他规则：如单位错误扣分（PA-1）、误读题目扣分（MR-1）等。

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题目解析与评分重点

问题1：简谐运动（SHM）

关键步骤：
- 角速度 $ω$ 的推导：
  
  $4^{2} = ω^{2} (3^{2} - 1^{2}) \Rightarrow ω^{2} = 2 \Rightarrow ω = 2$
- 最大加速度： $a_{max} = ω^{2} x_{max} = 6 m/s^{2}$ 。
- 周期 $T = ω 2 π$ ，计算60秒内的完整振荡次数（13次）。
分数分配：M1（能量守恒）、A1（角速度）、B1（周期结果）。

问题2：碰撞动力学

关键步骤：
- 动量守恒与速度分量分析：
  
  $v = 5 2 u (恢复系数 e = 0.274)$
- 方向角计算： $α = 85. 8^{\circ}$ 。
分数分配：M1（分量分解）、A1（速度关系）、B1（角度结果）。

问题3：静力学平衡

关键步骤：
- 力矩平衡方程：绕点 $B$ 的力矩分析，解得反力 $R_{A} = (k + 2) W$ 。
- 验证 $k = 5$ ：合力满足 $W 65$ 。
分数分配：M1（力矩方程）、A1（代数化简）、B1（最终参数）。

问题4：圆周运动与能量守恒

关键步骤：
- 最低点速度： $v_{1} = 5 λ q g$ 。
- 碰撞后速度： $v_{2} = λ + 1 v ^{1}$ 。
- 弦松弛条件：能量守恒与径向力的平衡。
分数分配：M1（能量方程）、A1（速度传递）、B1（张力变化）。

问题5：指数分布应用

关键步骤：
- 参数 $a = 1 0^{-4}$ 。
- 概率计算： $P (X < 15000) = 1 - e^{-1.5} \approx 0.777$ 。
- 分位数 $d = 2877$ （满足75%存活率）。
分数分配：M1（分布函数）、A1（积分结果）、B1（分位数）。

问题6：假设检验（t检验）

关键步骤：
- 样本均值 $x = 6.44$ ，样本方差 $s^{2} = 0.112$ 。
- t值计算： $t = 1.64$ ，与临界值 $t_{7, 0.95} = 1.895$ 比较，接受原假设。
分数分配：M1（方差估计）、A1（t值）、B1（结论）。

问题7：概率密度函数变换

关键步骤：
- 分布函数 $F (x) = 12 x ^{2} - 3 1$ （ $2 \leq x \leq 4$ ）。
- $Y = X^{3}$ 的密度函数： $g (y) = 18 1 y^{-1/3}$ （ $8 \leq y \leq 64$ ）。
分数分配：M1（变量替换）、A1（导数计算）、B1（定义域）。

问题8：双样本置信区间

关键步骤：
- 合并方差： $s_{p 2} = 367.6$ 。
- 均值差置信区间： $16 \pm 7.2$ （95%置信水平）。
分数分配：M1（方差合并）、A1（Z值）、B1（区间结果）。

问题9：卡方拟合优度检验

关键步骤：
- 合并单元格以确保期望频数 > 5。
- 卡方统计量 $χ^{2} = 5.29$ ，小于临界值 $9.24$ ，接受原假设。
分数分配：M1（期望频数）、A1（卡方计算）、B1（结论）。

问题10：刚体转动与能量守恒

关键步骤：
- 转动惯量： $I = 3 52 m a^{2}$ 。
- 角速度 $ω_{0} = 2 a g$ ，能量守恒解得 $cos θ = 21 8$ 。
分数分配：M1（惯量计算）、A1（能量方程）、B1（角度结果）。

该评分标准强调解题逻辑与关键步骤的分数分配，涵盖力学、概率统计、动力学等多个领域。对教师而言，是批改参考；对学生而言，是规范答题的重要指南。需注意单位、符号方向及统计检验的适用条件，避免常见错误。

以上就是关于【剑桥国际A Level进阶数学（9231）2016年10月/11月考试试卷2的官方评分标准解析】的内容，如需了解Alevel课程动态，可至Alevel课程资源网获取更多信息。

剑桥国际A Level进阶数学9231/21试卷评分标准详解

总体结构

本试卷共11题，满分100分，覆盖力学、统计学、概率分布、假设检验、转动惯量等多个模块。评分标准分为 M（方法分）、A（准确分） 和 B（独立结果分），核心要点如下：

M分：正确方法的应用，即使计算有误也可得分。
A分：基于正确方法的精确答案或中间步骤。
B分：独立于方法的结果或陈述，仅需最终正确。

各题核心考点与评分要点

1. 简谐运动（SHM）

核心步骤：
1. 通过能量守恒求最大加速度： $a_{max} = ω^{2} \cdot 振幅$ （M1A1）。
2. 周期计算： $T = ω 2 π$ ，60秒内完整周期数取整数（M1A1）。
3. 时间计算：分阶段积分或使用反三角函数（M1A1）。
易错点：方向符号错误或周期取整错误。

2. 碰撞问题

核心步骤：
1. 动量守恒：分解速度分量，注意恢复系数 $e$ 的定义（M1A1）。
2. 角度计算：利用三角函数关系 $tan β = 平行分量垂直分量$ （M1A1）。
易错点：速度分量方向混淆或恢复系数公式错误。

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3. 静力学平衡

核心步骤：
1. 力矩平衡方程：选择合适支点（如B点）列方程（M1A1）。
2. 摩擦力计算： $μ = R ^{A} F ^{A}$ ，需结合平衡方程求解（M1A1）。
易错点：支点选择不当或力矩正负号错误。

4. 圆周运动与能量守恒

核心步骤：
1. 能量守恒求速度： $v_{1} = u^{2} + 2 g q$ ，碰撞后速度 $v_{2} = λ + 1 v ^{1}$ （M1A1）。
2. 绳子松弛条件：径向加速度 $a v ^{2} = g cos θ$ ，结合能量方程求角度（M1A1）。
易错点：能量方程遗漏重力势能或径向加速度方向错误。

5. 指数分布

核心步骤：
1. 参数计算： $a = 均值 1$ （B1）。
2. 概率积分： $P (X < 15000) = 1 - e^{-15} \approx 0.777$ （M1A1）。
3. 分位数求解： $d = - a l n ( 0.25 ) \approx 2880$ （M1A1）。
易错点：指数函数积分错误或分位数公式混淆。

6. 假设检验（t检验）

核心步骤：
1. 样本方差计算： $s^{2} = n - 1 \sum x ^{2} - n x ˉ ^{2}$ （M1）。
2. t统计量： $t = s / n x ˉ - μ$ ，与临界值 $t_{表}$ 比较（M1A1）。
易错点：自由度选择错误或显著性水平混淆。

7. 概率密度函数（PDF）与分布变换

核心步骤：
1. 分布函数积分： $F (x) = \int_{2 x} 6 t d t$ （M1A1）。
2. 随机变量变换： $Y = X^{3}$ 的 PDF 通过链式法则求导（M1A1）。
易错点：积分限错误或变换后变量范围未调整。

8. 置信区间估计

核心步骤：
1. 合并方差计算： $s_{p 2} = n ^{1} + n ^{2} - 2 ( n ^{1} - 1 ) s ^{12} + ( n ^{2} - 1 ) s ^{22}$ （M1A1）。
2. 置信区间公式： $(x ˉ_{1} - x ˉ_{2}) \pm z_{α /2} n ^{1} s ^{p 2} + n ^{2} s ^{p 2}$ （M1A1）。
易错点：自由度计算错误或z值查表错误。

9. 卡方拟合优度检验

核心步骤：
1. 合并低期望频数类别：确保每类期望值 ≥5（M1）。
2. 卡方统计量： $χ^{2} = \sum E ^{i} ( O ^{i} - E ^{i} ) ^{2}$ ，与临界值比较（M1A1）。
易错点：类别合并不当或自由度计算错误。

10. 转动惯量与能量守恒

核心步骤：
1. 平行轴定理：计算复杂系统的转动惯量（M1A1）。
2. 能量守恒： $2 1 I ω^{2} = m g h (1 - cos θ)$ ，求角度（M1A1）。
易错点：惯量叠加错误或能量转换遗漏。

11. 线性回归与假设检验

核心步骤：
1. 缺失数据估计：通过均值方程求解 $x_{5}, y_{5}$ （M1A1）。
2. 相关系数计算： $r = S ^{xx} S ^{yy} S ^{x y}$ ，检验显著性（M1A1）。
易错点：数据代入错误或假设检验方向混淆。

评分注意事项

单位与精度：数值需保留3位有效数字，单位缺失可能扣分。
依赖分（DM/DB）：后续步骤依赖前序结果时，仅扣一次分。
特殊符号：如“AG”表示题目已给答案，需验证推导过程。

通过系统化掌握各题评分要点与易错点，考生可针对性强化薄弱环节，提高解题效率与准确性。

以上就是关于【剑桥国际A Level进阶数学9231/21试卷评分标准详解】的内容，如需了解Alevel课程动态，可至Alevel课程资源网获取更多信息。

剑桥国际A Level进阶数学（9231）2016年10月/11月考试试卷13的官方评分标准解析

该文件是剑桥国际A Level进阶数学（9231）2016年10月/11月考试试卷13的官方评分标准，内容涵盖12道题目的详细解题步骤与分数分配规则。以下是核心内容的梳理：

文件结构

封面信息
- 科目：进阶数学（Further Mathematics）
- 试卷代码：9231/13
- 满分：100分
- 发布日期：2016年10月/11月
评分标准说明
- M分（方法分）：奖励正确的解题方法，即使计算有误。
- A分（准确分）：答案或中间步骤正确，但需基于有效方法。
- B分（结果分）：独立于方法的正确结论或陈述。
- 其他规则：如单位错误、近似值扣分（PA-1）、误读题目扣分（MR-1）等。

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题目解析与评分重点

问题1：分式求和

关键步骤：
- 将分式拆分为部分分式：
  
  $( 2 r - 1 ) ( 2 r + 1 ) 1 = 21 (2 r - 11 - 2 r + 11)$
- 求和后化简为 $2 n + 1 n$ 。
分数分配：M1（方法）、A1（准确）、B1（最终结果）。

问题2：三次方程的根与系数关系

关键步骤：
- 利用根的和 $\sum α = 3$ 、根的积 $\sum α β = 4$ ，结合对称多项式公式求 $α β γ = - 7$ 。
- 最终方程： $x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 7 = 0$ 。
分数分配：M1（代数方法）、A1（正确代入）、B1（方程形式）。

问题3：矩阵对角化

关键步骤：
- 给定矩阵 $P$ 和 $D$ ，利用 $A = P D P^{-1}$ 计算原矩阵 $A$ 。
- 或通过特征向量直接构造 $A$ 。
分数分配：M1（矩阵乘法）、A1（逆矩阵计算）、B1（最终矩阵）。

问题4：组合恒等式与数学归纳法

关键步骤：
- 证明组合恒等式 $(r n) + (r - 1 n) = (r n + 1)$ 。
- 数学归纳法验证二项式定理。
分数分配：M1（组合展开）、A1（代数化简）、B1（归纳结论）。

问题5：线性代数（基与零空间）

关键步骤：
- 矩阵行化简至行阶梯形，确定秩为2。
- 构造零空间的基向量： $-29502$ 和 $-19320$ 。
分数分配：M1（行变换）、A1（基向量）、B1（维度）。

问题6：微分方程求解

关键步骤：
- 齐次解： $A e^{-2 t} + B e^{-5 t}$ 。
- 特解： $3 sin 2 t - 7 cos 2 t$ 。
- 长期行为：特解主导。
分数分配：M1（特征方程）、A1（特解形式）、B1（长期近似）。

问题7：积分应用（质心坐标）

关键步骤：
- 计算曲线下面积： $\int_{02} e^{-2 x} d x$ 。
- 质心坐标 $x$ 和 $y$ 的积分公式。
分数分配：M1（积分设置）、A1（代数结果）、B1（数值精度）。

问题8：隐函数极值分析

关键步骤：
- 隐函数求导找到驻点 $(4, - 2)$ 和 $(- 4, 2)$ 。
- 二阶导数判断极大/极小。
分数分配：M1（隐式求导）、A1（驻点坐标）、B1（极值类型）。

问题9：递推积分与变量替换

关键步骤：
- 递推公式： $I_{n} = n (2 π)^{n - 1} - n (n - 1) I_{n - 2}$ 。
- 变量替换 $u = cos x$ 简化积分。
分数分配：M1（分部积分）、A1（递推式）、B1（结果验证）。

问题10：复数与三角积分

关键步骤：
- 利用 $z = e^{i θ}$ 将三角函数乘积转换为复数形式。
- 积分结果： $192 3 π - 4$ 。
分数分配：M1（复数展开）、A1（三角恒等式）、B1（积分结果）。

问题11：向量几何与平面方程

关键步骤：
- 解线性方程组求参数 $s, t, k$ 。
- 构造平面方程 $3 x - 4 y - 2 z = 1$ 。
分数分配：M1（向量叉乘）、A1（平面方程）、B1（直线参数化）。

问题12：参数方程与极坐标积分

关键步骤：
- 参数方程转换为极坐标形式 $r = 1 - 3 t a n θ s e c θ$ 。
- 积分计算面积 $45 4$ 。
分数分配：M1（参数转换）、A1（积分设置）、B1（最终结果）。

该评分标准不仅提供答案，更强调解题逻辑与关键步骤的分数分配，帮助学生理解如何规范书写过程并避免失分。对于教师而言，可作为批改参考；对于学生，是复习时查漏补缺的重要资料。

以上就是关于【剑桥国际A Level进阶数学（9231）2016年10月/11月考试试卷13的官方评分标准解析】的内容，如需了解Alevel课程动态，可至Alevel课程资源网获取更多信息。