分类： 往届试卷

这是 Cambridge International Advanced Level Further Mathematics 9231/11 May/June 2018 的 Mark Scheme（评分标准），以下是对封面内容的详细分析及解读：

评分标准内容分析

1. 基本信息

• 考试科目:

  • Further Mathematics（进阶数学）

• 试卷编号:

  • 9231/11

• 考试系列:

  • May/June 2018

• 评分标准类型:

  • Mark Scheme（评分标准）

• 满分:

  • 100分

2. 评分标准的目的

评分标准的发布旨在帮助教师和考生了解评分的要求。以下是评分标准的主要特点：

1. 评分依据:

   • 评分标准展示了考官评分的依据，即如何根据考生的答案分配分数。
   • 它不包括考官评分前在考官会议中讨论的细节，这些讨论可能涉及替代答案的可接受性。

2. 与其他文件的结合使用:

   • 评分标准需与试卷（Question Paper）和主考官报告（Principal Examiner Report for Teachers）结合使用，以全面理解考试要求。

3. 讨论限制:

   • Cambridge International 不接受关于评分标准的讨论。

3. 评分标准的发布范围

评分标准适用于以下考试系列和级别：

• Cambridge IGCSE™
• Cambridge International A Level 和 AS Level
• Cambridge Pre-U 组件
• Cambridge O Level 组件

4. 文件页数

• 总页数:
  • 此评分标准文件共有 21页。

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评分标准使用建议

评分标准是考生备考的重要参考工具，以下是如何利用评分标准提高考试表现的建议：

1. 理解评分标准的结构

• 评分标准详细列出了每道题目的评分依据，包括分值分配和关键点。
• 考生通过研究评分标准，可以了解如何获得每道题目的满分。

2. 分析高分答案的特点

• 评分标准通常包含高分答案的关键步骤或表达方式。
• 考生需熟悉这些步骤，并在解题时模仿高分答案的逻辑和表达。

3. 避免失分点

• 评分标准明确指出了部分答案的失分原因，例如：
  • 漏掉关键步骤。
  • 使用错误方法或公式。
  • 答案表达不清晰。
• 在备考时，考生需关注这些失分点，并通过练习避免类似错误。

4. 与主考官报告结合使用

• 主考官报告提供了考生在考试中的常见错误和表现反馈。
• 将评分标准与主考官报告结合使用，可以帮助考生更全面地理解评分要求，并针对性改进。

5. 分值分配与时间管理

• 评分标准展示了每道题目的分值分配，考生可以据此合理分配考试时间：
  • 分值较高的题目通常需要更多解题步骤和推导过程。
  • 在备考时需重点练习高分题型，并熟悉其解题方法。

评分标准为考生提供了评分依据和高分答案的关键点，是备考的重要参考工具。通过研究评分标准并结合主考官报告，考生可以了解考试要求、避免失分点，并提高解题效率。

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这是Cambridge International Advanced Level Further Mathematics 9231/11 June 2018 的 Principal Examiner Report for Teachers（主考官报告）。以下是对报告内容的详细分析及解读：

报告内容分析

1. 关键信息

• 考试科目:

  • Further Mathematics（进阶数学）

• 试卷编号:

  • 9231/11

• 考试系列:

  • June 2018

• 文件类型:

  • 主考官报告（Principal Examiner Report for Teachers）

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关键信息与建议

报告的开头总结了考生在考试中的表现，并给出了备考的重要建议：

关键信息

1. 图形绘制:

   • 考生在绘制图形时需特别注意标明图形的对应区域（与题目中的定义域匹配）。
   • 图形草图需清晰、准确，并正确标注。

2. 使用指定方法:

   • 如果题目明确要求使用某种方法（例如特定公式或技巧），考生需严格遵循指示。
   • 偏离指定方法可能导致失分。

3. 完整解题步骤:

   • 在证明题中，考生需展示所有必要的步骤来支持其解答，特别是当题目要求推导给定结果时。
   • 缺少推导过程可能导致分数损失。

总体评论

报告对考生总体表现进行了评价：

• 知识掌握情况:

  • 大多数考生表现出对整个课程大纲的良好理解，能够完成计算并避免因粗心错误丢分。

• 失分原因:

  • 一些考生因计算错误或表达不清晰而失分。
  • 需注意在复杂题目中展示完整的解题过程。

具体题目分析

Question 1

• 题目内容:

  • 考生需回忆公式来计算弧长，并识别被积函数为一个完全平方数的平方根。

• 考生表现:

  • 大多数考生在此题中获得满分。
  • 极少数考生使用了极坐标公式，但仍能够正确解决问题。

• 正确答案:
  2+e32+e3

Question 2

• 题目内容:

  • 此题涉及归纳法证明（induction proof）的结构。

• 考生表现:

  • 大多数考生对归纳法的结构有良好的理解，但部分考生未能清晰表达所有步骤。
  • 常见错误包括：
    • 使用错误的基准情况。
    • 未能解释函数 $f(k)$ 可被 9 整除。
    • 未写出最终结论。
  • 一些考生能够定义假设 HkHk​，并在证明过程中引用它。
  • 少数考生采用演绎证明（deductive proof），但大多数考生能够正确操作表达式。

Question 3

• 题目内容:

  • 图形绘制和区域面积计算。

• 考生表现:

  • (i) 图形绘制：

    • 大多数考生知道图形的形状，但部分考生未考虑定义域，导致绘制了额外的部分。
    • 考生需记住标注关键点，例如初始线的交点，并确保图形展示对称性。
    • 草图需清晰展示图形的行为，特别是极值点和边界点。

  • (ii) 面积公式：

    • 大多数考生能够回忆并应用公式计算区域面积。
    • 部分考生能够正确使用双角公式。

  • (iii) 替代公式：

    • 大多数考生能够使用双角公式替代，并将公式代入 $x$ 和 $y$。

• 正确答案:

  • (i) 图形绘制：图形需满足题目定义域要求。
  • (ii) 面积公式：π88π​
  • (iii) 替代公式：(x2+y2)32=x2−y2(x2+y2)23​=x2−y2

备考建议

根据主考官报告中的反馈，以下是针对考生的备考建议：

1. 图形绘制

• 在绘制图形时，务必检查题目中的定义域要求，确保绘制的图形与定义域一致。
• 标注关键点，例如交点、极值点和对称性。
• 确保草图清晰且准确，避免模糊或不规范的表达。

2. 使用指定方法

• 如果题目要求使用特定方法（例如公式或技巧），考生需严格遵循题目要求。
• 在备考时练习使用各种方法解决问题，并熟悉题目对方法的指令。

3. 展示完整步骤

• 在证明题中，确保展示所有推导步骤，特别是在证明给定结果时。
• 检查答案是否逻辑连贯，避免遗漏关键步骤。

4. 归纳法证明

• 熟悉归纳法证明的结构，包括：
  • 基准情况（Base Case）。
  • 假设情况（Inductive Hypothesis）。
  • 推导情况（Inductive Step）。
• 在备考时练习完整的归纳法证明过程，并确保表达清晰。

5. 面积计算与公式应用

• 熟悉常用公式（例如面积公式、双角公式），并练习如何正确应用。
• 在备考中练习公式推导过程，确保能够展示完整的计算步骤。

6. 错误避免

• 主考官报告中列出的常见错误包括：
  • 定义域错误导致图形绘制失误。
  • 未展示完整的计算过程。
  • 未写出最终结论。
• 在备考时检查自己的答案是否存在类似问题，并进行改进。

主考官报告为考生提供了详细的反馈和备考建议，强调了图形绘制的准确性、使用指定方法的重要性以及完整解题步骤的必要性。通过针对性练习和错误分析，考生可以提高考试表现。

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这是 Cambridge International Advanced Level Further Mathematics 9231/11 May/June 2017 的 Mark Scheme（评分标准），以下是对其内容的详细分析及解读：

评分标准封面页内容分析

1. 基本信息

• 考试科目:

  • Further Mathematics（进阶数学）

• 试卷编号:

  • 9231/11

• 考试时间:

  • May/June 2017

• 满分:

  • Maximum Mark: 100

• 状态:

  • Published（已发布）

2. 评分标准的用途

评分标准的主要用途是为教师和考生提供评分依据，帮助他们了解考试的要求。以下是评分标准的具体作用：

1. 评分依据:

   • 评分标准展示了考官为每道题目分配分数的依据，包括解题步骤和正确答案的要求。
   • 它明确了考生如何获得分数，以及哪些答案或步骤是必须的。

2. 不包含考官讨论的细节:

   • 评分标准不包含考官在评分前的讨论细节。这些讨论通常涉及对一些非标准答案的接受程度。

3. 与其他考试材料的结合使用:

   • 评分标准需结合试题册（Question Paper）和主考官报告（Principal Examiner Report for Teachers）一起使用，以全面理解考试要求和评分细节。

4. 不接受评分标准的争议:

   • 剑桥明确表示不会与任何考生或教师就评分标准展开讨论。

3. 剑桥的评分政策

• 此评分标准是剑桥为大多数考试系列（如 IGCSE、A Level、Pre-U 等）发布的评分标准之一。
• 评分标准为考生提供了透明的评分机制，帮助考生了解如何满足考试要求。

4. 文件页数

• 页数信息:
  • 此评分标准文件包含 15 页，说明评分标准对整张试卷的每道题目都有详细的说明。

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评分标准的使用建议

评分标准是考生备考的重要资源之一，以下是如何利用评分标准提高备考效率的建议：

1. 理解评分细节

• 评分标准明确了每道题目的评分细则，包括：
  • 每一步解题过程的分值分配。
  • 哪些步骤是必要的，哪些步骤是加分项。
• 在备考时，考生可以通过评分标准了解如何获得完整分数。

2. 分析高分答案

• 评分标准提供了每道题目的标准答案和解题方法。
• 考生可以通过对比自己的答案与评分标准中的答案，发现解题过程中的不足之处。

3. 结合试题和主考官报告使用

• 评分标准需与试题册和主考官报告结合使用：
  • 试题册提供题目内容，帮助考生理解题目要求。
  • 主考官报告提供考生常见错误的分析，帮助考生避免失分。
  • 评分标准则提供具体的评分依据，帮助考生优化解题过程。

4. 关注分值分配

• 评分标准对每道题目的分值分配有详细说明。
• 考生可以通过评分标准了解哪些步骤是关键得分点，从而在考试中合理分配时间。

5. 模拟考试评分

• 在模拟考试中，使用评分标准对自己的答案进行评分：
  • 检查是否满足评分标准要求。
  • 发现哪些步骤遗漏或表达不够清晰。
• 通过模拟评分提高解题质量和准确性。

备考建议

结合评分标准，考生可以采取以下备考策略：

1. 熟悉题型与解题步骤

• 通过评分标准了解试卷中常见题型的解题步骤及评分要求。
• 针对评分标准中的关键步骤进行专项练习，确保能够完整展示解题过程。

2. 提高答案表达的规范性

• 评分标准通常强调答案的规范性，包括：
  • 使用正确的数学符号。
  • 清晰表达每一步推导过程。
• 在备考时，练习使用规范的数学语言和符号，并确保答案逻辑清晰。

3. 避免常见错误

• 主考官报告通常会列出考生的常见错误，例如：
  • 计算错误。
  • 推导过程不完整。
  • 忽略题目要求。
• 对照评分标准，检查自己的答案是否存在类似问题，并进行改进。

4. 关注高分技巧

• 评分标准中可能包含一些高分技巧，例如：
  • 使用更高效的解题方法。
  • 展示额外的推导步骤以获得加分。
• 在备考时，学习并应用这些技巧，以提高考试表现。

评分标准是理解考试要求和优化解题过程的重要工具。通过对评分标准的深入分析，考生可以明确每道题目的评分细则，发现自己的薄弱环节，并进行针对性的练习。

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这是 Cambridge International Advanced Level Further Mathematics 2017年主考官报告（Principal Examiner Report for Teachers），针对试卷 9231/11 的分析。以下是对报告内容的详细解读及备考建议：

报告内容分析

1. Key Messages（关键信息）

主考官对考生提出了以下重要建议：

1. 使用正确的数学符号和语言:

   • 考生需使用准确的数学符号和术语，特别是在推导和证明过程中。
   • 展示所有步骤，确保逻辑清晰，尤其是在解决给定问题时。

2. 使用题目指定的方法:

   • 考生需按照题目要求使用指定的方法解决问题，并将答案以适当的形式呈现。

3. 准确绘制图形:

   • 绘制图形时需标明对称性，并清晰标注关键点。
   • 图形的准确性和清晰度是评估的重要标准。

2. General Comments（总体评述）

主考官对考生的整体表现进行了评价：

1. 答题情况:

   • 考生有足够的时间完成整张试卷，但较少有人尝试题目中提供的替代解法。
   • 整体解题质量较高，答案结构清晰且呈现良好。

2. 微积分和代数处理:

   • 考生在微积分和代数处理方面表现很好，大多数答案准确无误。
   • 但一些错误，例如括号展开错误，可能导致严重失分，提醒考生需仔细检查答案。

3. 阅读题目与答案格式:

   • 大多数考生能够仔细阅读题目并正确理解要求，展示解题步骤和方法。
   • 优秀的考生能够清晰地展示每道题的完整过程，且图形标注清晰。

3. Specific Question Comments（具体题目评述）

主考官对试卷中的部分题目进行了详细分析：

Question 1

• 表现分析:

  • 大多数考生能够正确理解题目中给出的求和公式，并利用公式完成计算。
  • 考生使用了不同的方法解决问题，例如：
    • 一些考生直接计算前四项并从中总结通用规则。
    • 更高效的方法是比较 rnrn 和 (r−1)n(r−1)n 的和。

• 正确答案:

  • (i) 14r2+9r214r2+9r2
  • (ii) 6r2−16r2−1

• 备考建议:

  • 熟练掌握求和公式的应用，并能灵活转换方法以提高效率。

Question 2

• 表现分析:

  • 优秀考生能够清晰地结构数学归纳法证明，并使用正确的语言描述每一步。
  • 一些考生未能正确理解证明的逻辑，例如：
    • 未明确指出差值是否能被 4 整除。
    • 对归纳步骤的语言表达不够清晰。

• 备考建议:

  • 加强数学归纳法的练习，确保能够准确表达每一步推导过程。
  • 在书写归纳证明时，明确分步骤：
    • 基础步骤（验证初始值）。
    • 归纳假设（假设 $n=k$ 成立）。
    • 归纳步骤（证明 $n=k+1$ 成立）。

Question 3

• 表现分析:

  • 在 (i) 中，大多数考生能够使用隐函数求导并推导给定关系式，但在重新排列表达式时出现错误。
  • 在 (ii) 中，部分考生未能正确理解题目要求，例如：
    • 未能正确计算 dydxdxdy​ 并将其平方。
    • 未能按照题目要求使用给定公式。

• 正确答案:

  • (ii) dy/dx=cos⁡2(π4)=12dy/dx=cos2(4π​)=21​

• 备考建议:

  • 熟练掌握隐函数求导技巧，并能正确运用公式进行复杂表达式的转换。
  • 在练习中注意题目要求，避免因忽略细节而失分。

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备考建议

1. 强化数学符号与语言的准确性

• 在解题时使用规范的数学语言，例如：
  • 符号的准确使用（如 $\sum$、$\int$、$\lim$ 等）。
  • 清晰标注每一步的逻辑推导。
• 避免使用模糊或不规范的表达方式，确保答案易于理解。

2. 熟悉题目指定的方法

• 在备考中练习题目中常见的指定方法，例如：
  • 数学归纳法。
  • 隐函数求导。
  • 复杂求和公式的应用。
• 确保能够根据题目要求选择合适的方法解决问题。

3. 提高图形绘制能力

• 在备考中练习准确绘制图形：
  • 标明对称性和关键点（如极值点、拐点等）。
  • 使用清晰的标注和说明，确保图形表达完整。

4. 加强计算能力与检查习惯

• 在练习中提高计算准确性，特别是：
  • 括号展开。
  • 表达式的重新排列。
  • 公式的应用。
• 养成检查答案的习惯，避免因计算错误而失分。

5. 针对性练习归纳法与隐函数求导

• 归纳法：
  • 练习完整的归纳步骤，确保语言表达清晰。
  • 重点理解归纳假设和归纳步骤之间的逻辑关系。
• 隐函数求导：
  • 熟练掌握隐函数求导技巧，特别是在复杂表达式中的应用。

主考官报告提供了考生表现的详细分析以及针对性建议。通过熟悉报告中的关键信息和具体题目评述，考生可以明确自己的薄弱环节，并进行有针对性的练习。

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这是Cambridge International Advanced Level Further Mathematics 的 Question Paper（试题册），以下是对其内容的详细分析和解读：

内容分析

考试基本信息:

1. 考试科目:

   • Further Mathematics
     （进阶数学，适用于高级数学学习的学生）

2. 考试级别:

   • Cambridge International Advanced Level
     （剑桥国际高级证书课程，即 A Level）

3. 试卷代码与名称:

   • Paper 9231/11
     （试卷代码 9231，试卷编号 11）

4. 考试时间:

   • May/June 2016
     （2016年5月/6月考试）

5. 考试时长:

   • 3 hours
     （考试时长为 3 小时）

6. 额外材料:

   • List of Formulae (MF10)
     （公式表 MF10）

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考试说明

以下是考试说明，考生需严格遵守这些要求：

1. 答题册的使用:

• 试题册内附有答题册，考生需按照答题册封面的指示完成作答。
• 如果需要额外的答题纸，应向监考人员索取继续作答的答题册。

2. 解题要求:

• 作答所有问题:
  • 考生需完成试卷中的所有问题，不能遗漏。
• 数值答案的精确度:
  • 非精确数值答案需保留 3 个有效数字；如果是角度，则保留 1 位小数（除非题目另有说明）。
  • 考生需注意答案的精确度要求，避免因精度不足或过度而失分。
• 计算器的使用:
  • 考试允许使用计算器，并鼓励在适当情况下使用。
  • 但仅依赖图形计算器得出的结果而未提供相关步骤或推理的答案将 不予评分。

3. 清晰的解题过程:

• 考生需在答案中清晰展示解题步骤和逻辑推理。
• 清晰的表达不仅可以帮助评分人员理解解题思路，还能确保考生在复杂问题中不遗漏重要步骤。

4. 考试结束后的要求:

• 在考试结束后，考生需将所有答题纸整理好并固定在一起，以便提交。

5. 分值标注:

• 每道题或子题的分值会在题目末尾以方括号标注，例如 [5] 表示该题满分为 5 分。

如何利用考试说明备考

考试说明明确了考试的答题要求和评分标准，考生可以通过以下方式提升备考效率：

1. 熟悉数值答案的精确度要求:

• 在平时练习中，严格按照考试说明中的精确度要求保留答案：
  • 非精确数值保留 3 位有效数字。
  • 角度保留 1 位小数。
• 如果题目对精确度有特殊要求，需仔细阅读并遵守。

2. 练习清晰表达解题过程:

• 在备考时，确保每道题的解题过程清晰完整：
  • 展示所有步骤和逻辑推理。
  • 避免直接写出答案而没有过程说明。
• 特别是在证明题和复杂计算题中，清晰的表达是得分的关键。

3. 熟练使用计算器:

• 考试允许使用计算器，但需注意以下几点：
  • 计算器仅作为辅助工具，考生需展示完整的解题过程。
  • 练习使用计算器进行复杂计算，同时确保书写步骤清晰。

4. 模拟考试流程:

• 在模拟考试中，按照考试说明完成所有题目：
  • 使用答题册，确保答案布局清晰。
  • 在考试结束后整理所有答题纸并固定在一起。
• 通过模拟考试熟悉考试流程，避免因操作失误而影响成绩。

5. 分析分值分布:

• 每道题的分值标注可以帮助考生判断题目难度和答题时间分配：
  • 分值较高的题目通常需要更多步骤和深入分析。
  • 在备考时，重点练习分值较高的题型，提升解题效率。

备考建议

1. 强化数学基础:

• 熟练掌握进阶数学中的核心知识点，例如微积分、矩阵、复数等。
• 针对考试说明中的要求进行专项练习，确保能够高效完成所有题目。

2. 提高解题速度与准确度:

• 在练习中控制答题时间，确保能够在规定时间内完成试卷。
• 针对复杂计算题和证明题，练习清晰表达解题过程。

3. 熟悉公式表的使用:

• 考试中会提供公式表（MF10），考生需熟悉其内容和使用方法。
• 在备考时，练习如何快速查找公式表中的信息并应用到解题中。

4. 结合评分标准和主考官报告备考:

• 使用评分标准分析历年试题，了解高分答案的要求。
• 结合主考官报告中的建议，避免常见失误。

考试说明是帮助考生了解考试要求的重要文件，明确了答题方式、数值精确度和评分标准。通过熟悉考试说明并进行针对性练习，考生可以有效提升考试表现。

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