该文件是剑桥国际A Level进阶数学（9231）2016年10月/11月考试试卷13的官方评分标准，内容涵盖12道题目的详细解题步骤与分数分配规则。以下是核心内容的梳理：
文件结构
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封面信息
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科目：进阶数学（Further Mathematics）
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试卷代码：9231/13
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满分：100分
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发布日期：2016年10月/11月
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评分标准说明
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M分（方法分）：奖励正确的解题方法，即使计算有误。
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A分（准确分）：答案或中间步骤正确，但需基于有效方法。
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B分（结果分）：独立于方法的正确结论或陈述。
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其他规则：如单位错误、近似值扣分（PA-1）、误读题目扣分（MR-1）等。
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题目解析与评分重点
问题1：分式求和
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关键步骤：
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将分式拆分为部分分式：
1(2r−1)(2r+1)=12(12r−1−12r+1)
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求和后化简为 n2n+1。
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分数分配：M1（方法）、A1（准确）、B1（最终结果）。
问题2：三次方程的根与系数关系
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关键步骤：
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利用根的和 ∑α=3、根的积 ∑αβ=4，结合对称多项式公式求 αβγ=−7。
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最终方程：x3−3x2+4x+7=0。
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分数分配：M1（代数方法）、A1（正确代入）、B1（方程形式）。
问题3：矩阵对角化
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关键步骤：
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给定矩阵 P 和 D，利用 A=PDP−1 计算原矩阵 A。
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或通过特征向量直接构造 A。
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分数分配：M1（矩阵乘法）、A1（逆矩阵计算）、B1（最终矩阵）。
问题4：组合恒等式与数学归纳法
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关键步骤：
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证明组合恒等式 (nr)+(nr−1)=(n+1r)。
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数学归纳法验证二项式定理。
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分数分配：M1（组合展开）、A1（代数化简）、B1（归纳结论）。
问题5：线性代数（基与零空间）
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关键步骤：
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矩阵行化简至行阶梯形，确定秩为2。
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构造零空间的基向量：(−29502) 和 (−19320)。
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分数分配：M1（行变换）、A1（基向量）、B1（维度）。
问题6：微分方程求解
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关键步骤：
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齐次解：Ae−2t+Be−5t。
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特解：3sin2t−7cos2t。
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长期行为：特解主导。
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分数分配：M1（特征方程）、A1（特解形式）、B1（长期近似）。
问题7：积分应用（质心坐标）
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关键步骤：
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计算曲线下面积：∫02e−2xdx。
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质心坐标 x‾ 和 y‾ 的积分公式。
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分数分配：M1（积分设置）、A1（代数结果）、B1（数值精度）。
问题8：隐函数极值分析
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关键步骤：
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隐函数求导找到驻点 (4,−2) 和 (−4,2)。
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二阶导数判断极大/极小。
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分数分配：M1（隐式求导）、A1（驻点坐标）、B1（极值类型）。
问题9：递推积分与变量替换
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关键步骤：
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递推公式：In=n(π2)n−1−n(n−1)In−2。
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变量替换 u=cosx 简化积分。
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分数分配：M1（分部积分）、A1（递推式）、B1（结果验证）。
问题10：复数与三角积分
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关键步骤：
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利用 z=eiθ 将三角函数乘积转换为复数形式。
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积分结果：3π−4192。
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分数分配：M1（复数展开）、A1（三角恒等式）、B1（积分结果）。
问题11：向量几何与平面方程
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关键步骤：
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解线性方程组求参数 s,t,k。
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构造平面方程 3x−4y−2z=1。
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分数分配：M1（向量叉乘）、A1（平面方程）、B1（直线参数化）。
问题12：参数方程与极坐标积分
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关键步骤：
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参数方程转换为极坐标形式 r=secθ1−3tanθ。
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积分计算面积 445。
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分数分配：M1（参数转换）、A1（积分设置）、B1（最终结果）。
该评分标准不仅提供答案，更强调解题逻辑与关键步骤的分数分配，帮助学生理解如何规范书写过程并避免失分。对于教师而言，可作为批改参考；对于学生，是复习时查漏补缺的重要资料。
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