1. 差分法求和
解答：
将分式分解为部分分式：
1(2r)2−1=1(2r−1)(2r+1)=12(12r−1−12r+1)
求和时中间项抵消，得到：
∑r=1n1(2r)2−1=12(1−12n+1)=n2n+1
当 n→∞ 时，极限为：
∑r=1∞1(2r)2−1=12
答案：
有限和为 n2n+1；无限和为 12。
2. 三次方程构造
解答：
由根与系数关系：
α+β+γ=3,αβ+βγ+γα=32−12=4,αβγ=−30−3(1−4)3=−7
方程为：
x3−3x2+4x+7=0
答案：x3−3x2+4x+7=0。
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3. 矩阵构造
解答：
设特征向量矩阵 P=(110011001)，对角矩阵 D=diag(−1,1,2)，则 A=PDP−1。计算得：
A=(−12−2011002)
答案：矩阵如上述。
4. 组合恒等式与数学归纳法
解答：
-
组合恒等式：
(nr−1)+(nr)=n!(r−1)!(n−r+1)!+n!r!(n−r)!=(n+1)!r!(n+1−r)!=(n+1r)
-
归纳法：
-
基例：n=1 时成立。
-
假设：n=k 时成立，即 (a+x)k=∑r=0k(kr)ak−rxr。
-
递推：乘 (a+x) 并合并项，利用组合恒等式，得证 n=k+1 时成立。
-
答案：恒等式与二项式定理均得证。
5. 线性变换分析
解答：
-
行化简：
A→(135702−3−500000000),秩为2。
-
值域基：原矩阵前两列，如 (1236) 和 (381324)。
-
零空间基：解方程组得基向量 (−29502) 和 (−19320)。
答案：秩为2；值域基与零空间基如上述。
6. 微分方程求解
解答：
-
齐次解：特征方程 m2+7m+10=0，根 m=−2,−5，齐次解 xh=Ae−2t+Be−5t。
-
特解：设 xp=3sin2t−7cos2t，代入求得系数。
-
通解：
x=Ae−2t+Be−5t+3sin2t−7cos2t
-
长期近似解：x≈3sin2t−7cos2t。
答案：通解如上；长期近似解为特解部分。
7. 曲线C的质心
解答：
-
平均导数：
均值=12∫02(−2e−2x)dx=1−e−42≈0.491
-
质心坐标：
xˉ=∫02xe−4xdx∫02e−4xdx≈0.463,yˉ=12⋅∫02e−4xdx面积≈0.255
答案：xˉ≈0.463，yˉ≈0.255。
8. 曲线C的驻点
解答：
-
隐函数求导：由 x2+4xy−y2+20=0，求导得 x=−2y。
-
驻点坐标：解得 (4,−2) 和 (−4,2)。
-
二阶导数：在 (4,−2) 处 d2ydx2=−110（极大值），在 (−4,2) 处 d2ydx2=110（极小值）。
答案：驻点为 (4,−2)（极大）和 (−4,2)（极小）。
9. 积分递推与变量替换
解答：
-
∫0π/2xsinxdx=1。
-
递推公式：
In=n(π2)n−1−n(n−1)In−2
-
替换 x=cos−1u：
∫01(cos−1u)3du=∫0π/2x3sinxdx=I3=3π24−6
答案：积分值为 3π24−6。
10. 复数与三角积分
解答：
-
复数恒等式：由 zn±z−n=2cosnθ±2isinnθ 得证。
-
展开表达式：
sin4θcos2θ=132(cos6θ−2cos4θ−cos2θ+2)
-
积分：逐项积分得 3π−4192。
答案：积分值为 3π−4192。
11. 几何问题（选择EITHER）
解答：
-
垂线PQ：解方程组得 P(3i+j+2k)，Q(i+2j−3k)。
-
平面方程：r=3i+j+2k+λ(3i−4j−2k)+μk。
-
直线l₃：参数方程 r=−1i−1j+λ(4i+3j)。
答案：位置向量与方程如上述。
本卷覆盖高阶数学核心内容，需熟练掌握分式分解、矩阵对角化、微分方程等技巧，注重步骤严谨性。
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