剑桥国际A Level进阶数学（9231）2016年10月/11月试卷1详解

1. 差分法求和

解答：
将分式分解为部分分式：

$( 2 r ) ^{2} - 11 = ( 2 r - 1 ) ( 2 r + 1 ) 1 = 21 (2 r - 11 - 2 r + 11)$

求和时中间项抵消，得到：

$r = 1 \sum n ( 2 r ) ^{2} - 11 = 21 (1 - 2 n + 11) = 2 n + 1 n$

当 $n \to \infty$ 时，极限为：

$r = 1 \sum \infty ( 2 r ) ^{2} - 11 = 21$

答案：
有限和为 $2 n + 1 n$ ；无限和为 $2 1$ 。

2. 三次方程构造

解答：
由根与系数关系：

$α + β + γ = 3, α β + β γ + γ α = 23 ^{2} - 1 = 4, α β γ = 3-30 - 3 ( 1 - 4 ) = - 7$

方程为：

$x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 7 = 0$

答案： $x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 7 = 0$ 。

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3. 矩阵构造

解答：
设特征向量矩阵 $P = 100110011$ ，对角矩阵 $D = diag (- 1, 1, 2)$ ，则 $A = P D P^{-1}$ 。计算得：

$A = -100 210 -212$

答案：矩阵如上述。

4. 组合恒等式与数学归纳法

解答：

组合恒等式：

$(r - 1 n) + (r n) = ( r - 1 )! ( n - r + 1 )! n ! + r ! ( n - r )! n ! = r ! ( n + 1 - r )! ( n + 1 )! = (r n + 1)$
归纳法：
- 基例： $n = 1$ 时成立。
- 假设： $n = k$ 时成立，即 $(a + x)^{k} = \sum_{r = 0 k} (r k) a^{k - r} x^{r}$ 。
- 递推：乘 $(a + x)$ 并合并项，利用组合恒等式，得证 $n = k + 1$ 时成立。

答案：恒等式与二项式定理均得证。

5. 线性变换分析

解答：

行化简：

$A \to 10003200 5-300 7-500, 秩为 2 。$
值域基：原矩阵前两列，如 $1236$ 和 $381324$ 。
零空间基：解方程组得基向量 $-29502$ 和 $-19320$ 。

答案：秩为2；值域基与零空间基如上述。

6. 微分方程求解

解答：

齐次解：特征方程 $m^{2} + 7 m + 10 = 0$ ，根 $m = - 2, - 5$ ，齐次解 $x_{h} = A e^{-2 t} + B e^{-5 t}$ 。
特解：设 $x_{p} = 3 sin 2 t - 7 cos 2 t$ ，代入求得系数。
通解：

$x = A e^{-2 t} + B e^{-5 t} + 3 sin 2 t - 7 cos 2 t$
长期近似解： $x \approx 3 sin 2 t - 7 cos 2 t$ 。

答案：通解如上；长期近似解为特解部分。

7. 曲线C的质心

解答：

平均导数：

$均值 = 21 \int_{02} (- 2 e^{-2 x}) d x = 21 - e ^{-4} \approx 0.491$
质心坐标：

$x ˉ = \int ^{02} e ^{-4 x} d x \int ^{02} x e ^{-4 x} d x \approx 0.463, y ˉ = 21 \cdot 面积 \int ^{02} e ^{-4 x} d x \approx 0.255$

答案： $x ˉ \approx 0.463$ ， $y ˉ \approx 0.255$ 。

8. 曲线C的驻点

解答：

隐函数求导：由 $x^{2} + 4 x y - y^{2} + 20 = 0$ ，求导得 $x = - 2 y$ 。
驻点坐标：解得 $(4, - 2)$ 和 $(- 4, 2)$ 。
二阶导数：在 $(4, - 2)$ 处 $d x ^{2} d ^{2} y = - 10 1$ （极大值），在 $(- 4, 2)$ 处 $d x ^{2} d ^{2} y = 10 1$ （极小值）。

答案：驻点为 $(4, - 2)$ （极大）和 $(- 4, 2)$ （极小）。

9. 积分递推与变量替换

解答：

$\int_{0 π /2} x sin x d x = 1$ 。
递推公式：

$I_{n} = n (2 π)^{n - 1} - n (n - 1) I_{n - 2}$
替换 $x = cos^{-1} u$ ：

$\int_{01} (cos^{-1} u)^{3} d u = \int_{0 π /2} x^{3} sin x d x = I_{3} = 43 π ^{2} - 6$

答案：积分值为 $4 3 π ^{2} - 6$ 。

10. 复数与三角积分

解答：

复数恒等式：由 $z^{n} \pm z^{- n} = 2 cos n θ \pm 2 i sin n θ$ 得证。
展开表达式：

$sin^{4} θ cos^{2} θ = 321 (cos 6 θ - 2 cos 4 θ - cos 2 θ + 2)$
积分：逐项积分得 $192 3 π - 4$ 。

答案：积分值为 $192 3 π - 4$ 。

11. 几何问题（选择EITHER）

解答：

垂线PQ：解方程组得 $P (3 i + j + 2 k)$ ， $Q (i + 2 j - 3 k)$ 。
平面方程： $r = 3 i + j + 2 k + λ (3 i - 4 j - 2 k) + μ k$ 。
直线l₃：参数方程 $r = - 1 i - 1 j + λ (4 i + 3 j)$ 。

答案：位置向量与方程如上述。

本卷覆盖高阶数学核心内容，需熟练掌握分式分解、矩阵对角化、微分方程等技巧，注重步骤严谨性。

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