1. 差分法求和

题目：用差分法求 ∑r=1n1(2r)2−1∑r=1n​(2r)2−11​，并推导无穷级数的值。
解答：

1. 分式分解：

   1(2r−1)(2r+1)=12(12r−1−12r+1)(2r−1)(2r+1)1​=21​(2r−11​−2r+11​)

2. 求和：

   ∑r=1n1(2r)2−1=12(1−12n+1)=n2n+1r=1∑n​(2r)2−11​=21​(1−2n+11​)=2n+1n​

3. 无穷级数：
   当 $n\to \infty$ 时，n2n+1→122n+1n​→21​。

答案：
有限和为 n2n+12n+1n​；无限和为 1221​。

2. 三次方程构造

题目：已知根 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 满足 $\alpha +\beta +\gamma =3$，α2+β2+γ2=1α2+β2+γ2=1，α3+β3+γ3=−30α3+β3+γ3=−30，求三次方程。
解答：

1. 根与系数关系：

   • ∑αβ=(∑α)2−∑α22=9−12=4∑αβ=2(∑α)2−∑α2​=29−1​=4

   • αβγ=∑α3−(∑α)(∑α2−∑αβ)3=−30−3(1−4)3=−7αβγ=3∑α3−(∑α)(∑α2−∑αβ)​=3−30−3(1−4)​=−7

2. 方程形式：

   x3−3x2+4x+7=0x3−3x2+4x+7=0

答案：方程为 x3−3x2+4x+7=0x3−3x2+4x+7=0。

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3. 矩阵构造

题目：求矩阵 $A$，其特征值为 $-1,1,2$，对应特征向量为 (100),(110),(011)​100​​,​110​​,​011​​。
解答：

1. 对角化：设 P=(110011001)P=​100​110​011​​，$D=\text{diag}(-1,1,2)$，则 A=PDP−1A=PDP−1。

2. 计算 $A$：

   A=(−12−2011002)A=​−100​210​−212​​

答案：矩阵如上述。

4. 组合恒等式与数学归纳法

题目：证明 (nr−1)+(nr)=(n+1r)(r−1n​)+(rn​)=(rn+1​)，并用归纳法证明二项式定理。
解答：

1. 阶乘展开：

   (nr−1)+(nr)=n!(r−1)!(n−r+1)!+n!r!(n−r)!=(n+1)!r!(n+1−r)!=(n+1r)(r−1n​)+(rn​)=(r−1)!(n−r+1)!n!​+r!(n−r)!n!​=r!(n+1−r)!(n+1)!​=(rn+1​)

2. 归纳法：

   • 基例：$n=1$ 时成立。

   • 假设：对 $n=k$ 成立，即 (a+x)k=∑r=0k(kr)ak−rxr(a+x)k=∑r=0k​(rk​)ak−rxr。

   • 递推：乘 $(a+x)$ 并合并同类项，利用组合恒等式，得证 $n=k+1$ 成立。

答案：恒等式与二项式定理均得证。

5. 线性变换分析

题目：求矩阵 $A$ 的秩、值域基和零空间基。
解答：

1. 行化简：

   A→(135702−3−500000000)A→​1000​3200​5−300​7−500​​

   秩为2。

2. 值域基：原矩阵前两列线性无关，如 (1236)​1236​​ 和 (381324)​381324​​。

3. 零空间基：解 $x+3y+5z+7t=0$ 和 $2y-3z-5t=0$，得基向量 (−29502)​−29502​​ 和 (−19320)​−19320​​。

答案：秩为2；值域基与零空间基如上述。

本试卷涵盖高阶数学的多个核心领域，需熟练掌握分式分解、矩阵对角化、微分方程求解等技巧，并注重步骤的严谨性与逻辑性。

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