数值求根写出迭代公式之后，还要检查它产生的数列是否真的接近某个根。下面是自行编写的分析练习，涉及的具体课程要求仍应对照自己的考试局和大纲版本，不把某种迭代方法说成所有试卷的固定内容。
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先确定原方程确实有实根
考虑f(x)=x³−2x+2。由于f(−2)=−2、f(−1)=3，且多项式连续，区间(−2,−1)中至少有一个根。这个存在判断来自符号变化与连续性，不依赖我们后面选择的初值，也不能反过来保证任意初值的Newton迭代都会找到它。
把导数和更新规则写完整
导数为f′(x)=3x²−2。Newton更新为x下一步=x−f(x)/f′(x)，前提是当前导数不为零。取初值x₀=0，代入得x₁=0−2/(−2)=1。再取x₁=1，有f(1)=1、f′(1)=1，因此x₂=1−1/1=0。
第三步以后会重复已有状态
从0出发再次得到1，所以数列为0、1、0、1不断重复。两个点的导数都不为零，公式每次都能算，但数列并不收敛。若只看步数增加、显示器持续输出数字，就称为“越来越准确”，会忽略数值序列的实际行为。
残差与相邻项差都要结合判断
在这两个点上，残差分别为2和1，并没有趋于零；相邻项差的绝对值一直是1，也没有缩小。因此这不是舍入造成的最后几位抖动。对于其他题目，相邻项接近也不单独保证残差足够小，停止条件应结合方程、精度要求和方法适用条件。
从失败例子得到可操作的复盘
可以先用图像或变号区间了解根的位置，再讨论合适初值或其他有保障的区间方法，而不是盲目重复同一循环。完整学习记录应保留函数、导数、初值、两步代入和失败原因。这个例子说明“根存在”“迭代合法”“数列收敛”是三个需要分别支持的判断。
延伸阅读：A-Level反函数：同一个二次式，为什么限制定义域后会选不同根号分支？。
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