往届试卷 - 第 3 页

Alevel高等数学2017年真题评分标准下载《Cambridge International A Level Further Mathematics Paper 2 Mark Scheme October/November 2017》

这是 Cambridge International A Level Further Mathematics Paper 2 的 评分标准（Mark Scheme） ，对应 2017年10月/11月考试。以下是对信息的详细解读，以及评分标准在备考中的作用。

内容分析

文件信息

考试体系：Cambridge Assessment International Education（剑桥国际教育）。
考试级别：Cambridge International Advanced Level（剑桥国际高级水平，A Level）。
科目：Further Mathematics（高等数学）。
试卷编号：9231/21。
- 9231：科目代码，代表 Further Mathematics。
- 21：试卷代码，表示 Paper 2。
考试时间：October/November 2017（2017年10月/11月考试）。
文件类型：Mark Scheme（评分标准）。
满分：Maximum Mark: 100（满分为100分）。
状态：Published（已发布）。
页数：评分标准共 15页。

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评分标准说明

评分标准的提供了以下重要信息：

用途：
- 评分标准是为教师和考生提供的参考文件，用于说明阅卷员如何评分。
- 显示了评分的依据，但不包含阅卷员会议讨论的细节。
结合试卷使用：
- 评分标准应与试题（Question Paper）和阅卷报告（Principal Examiner Report for Teachers）结合使用，以全面理解评分规则。
剑桥官方声明：
- 剑桥官方不会针对评分标准内容进行讨论。
- 剑桥定期发布评分标准，适用于 Cambridge IGCSE、A Level 和 AS Level 等考试。

评分标准的特点

剑桥 A Level 的评分标准为考生和教师提供了清晰的评分依据。以下是评分标准的主要特点：

1. 明确答案和得分点

评分标准详细列出每道题的正确答案和得分点，确保评分公平。
对于多步骤计算题，评分标准通常列出每个步骤的得分分配。

2. 包容性

标准通常允许多种解题方法，只要逻辑正确、步骤完整，都可获得相应分数。

3. 重点关注过程

评分标准强调解题过程的清晰性和逻辑性。
即使最终答案错误，只要过程正确，仍可获得部分分数。

4. 针对 Paper 2 的特点

Paper 2 通常涉及更复杂的数学问题，包括：
- 纯数学：如微分方程、矩阵、复数、线性代数等。
- 应用数学：如力学问题、概率与统计。
评分标准会针对这些主题提供详细的评分依据。

备考建议

为了充分利用评分标准并在考试中取得高分，考生可以参考以下备考建议：

1. 熟悉评分标准

下载历年的评分标准，研究题目得分点的分布。
理解评分标准如何分配分数，特别是多步骤题目。

2. 强调解题过程

在练习时，确保每一步解题过程清晰完整。
即使答案错误，也需写出完整的推导过程，以争取步骤分。

3. 练习历年真题

使用评分标准核对答案，分析自己的错误。
总结常见的得分点和失分原因，优化解题方法。

4. 提高表达能力

数学答案需逻辑清晰，书写规范。
避免模糊表达或不必要的跳步，确保阅卷员能理解你的思路。

5. 模拟考试环境

在规定时间内完成一套完整试卷，严格遵守考试要求。
使用评分标准评估自己的表现，找出需要改进的地方。

6. 针对 Paper 2 的特点备考

纯数学部分：
- 熟练掌握复杂计算，如矩阵运算、复数计算和微分方程解法。
- 理解线性代数和微积分的应用。
应用数学部分：
- 提高力学题目的分析能力，特别是动态问题。
- 熟悉概率分布、统计计算和相关公式的使用。

评分标准是剑桥 A Level Further Mathematics Paper 2 的重要参考文件，帮助考生了解如何获得分数。通过研究评分标准并结合真题练习，考生可以优化解题策略，提高考试表现。

以上就是关于【Alevel高等数学2017年真题评分标准下载《Cambridge International A Level Further Mathematics Paper 2 Mark Scheme October/November 2017》】的内容，如需了解Alevel课程动态，可至Alevel课程资源网获取更多信息。

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Alevel高等数学2017年真题评分标准下载《Cambridge International A Level Further Mathematics Paper 1 Mark Scheme October/November 2017》

这是 Cambridge International A Level Further Mathematics Paper 1 的 评分标准（Mark Scheme） ，对应 2017年10月/11月考试。以下是对信息的详细解读，以及评分标准在备考中的作用。

内容分析

文件信息

考试体系：Cambridge Assessment International Education（剑桥国际教育）。
考试级别：Cambridge International Advanced Level（剑桥国际高级水平，A Level）。
科目：Further Mathematics（高等数学）。
试卷编号：9231/11。
- 9231：科目代码，代表 Further Mathematics。
- 11：试卷代码，表示 Paper 1。
考试时间：October/November 2017（2017年10月/11月考试）。
文件类型：Mark Scheme（评分标准）。
满分：Maximum Mark: 100（满分为100分）。
状态：Published（已发布）。
页数：评分标准共 17页。

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评分标准说明

评分标准的提供了以下重要信息：

用途：
- 评分标准是为教师和考生提供的参考文件，用于说明阅卷员如何评分。
- 显示了评分的依据，但不包含阅卷员会议讨论的细节。
结合试卷使用：
- 评分标准应与试题（Question Paper）和阅卷报告（Principal Examiner Report for Teachers）结合使用，以全面理解评分规则。
剑桥官方声明：
- 剑桥官方不会针对评分标准内容进行讨论。
- 剑桥定期发布评分标准，适用于 Cambridge IGCSE、A Level 和 AS Level 等考试。

评分标准的特点

剑桥 A Level 的评分标准为考生和教师提供了清晰的评分依据。以下是评分标准的主要特点：

1. 明确答案和得分点

评分标准详细列出每道题的正确答案和得分点，确保评分公平。
对于多步骤计算题，评分标准通常列出每个步骤的得分分配。

2. 包容性

标准通常允许多种解题方法，只要逻辑正确、步骤完整，都可获得相应分数。

3. 重点关注过程

评分标准强调解题过程的清晰性和逻辑性。
即使最终答案错误，只要过程正确，仍可获得部分分数。

备考建议

为了充分利用评分标准并在考试中取得高分，考生可以参考以下备考建议：

1. 熟悉评分标准

下载历年的评分标准，研究题目得分点的分布。
理解评分标准如何分配分数，特别是多步骤题目。

2. 强调解题过程

在练习时，确保每一步解题过程清晰完整。
即使答案错误，也需写出完整的推导过程，以争取步骤分。

3. 练习历年真题

使用评分标准核对答案，分析自己的错误。
总结常见的得分点和失分原因，优化解题方法。

4. 提高表达能力

数学答案需逻辑清晰，书写规范。
避免模糊表达或不必要的跳步，确保阅卷员能理解你的思路。

5. 模拟考试环境

在规定时间内完成一套完整试卷，严格遵守考试要求。
使用评分标准评估自己的表现，找出需要改进的地方。

评分标准是剑桥 A Level Further Mathematics 考试的重要参考文件，帮助考生了解如何获得分数。通过研究评分标准并结合真题练习，考生可以优化解题策略，提高考试表现。

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Alevel高等数学2016年真题下载《Cambridge International A Level Further Mathematics Paper 2 October/November 2016》

这是Cambridge International A Level Further Mathematics Paper 2 的试卷，对应 2016年10月/11月考试。以下是对信息的详细解读，以及对考生备考的指导建议。

内容分析

文件信息

考试体系：Cambridge International Examinations（剑桥国际考试）。
考试级别：Cambridge International Advanced Level（剑桥国际高级水平，A Level）。
科目：Further Mathematics（高等数学）。
试卷编号：9231/23。
- 9231：科目代码，代表 Further Mathematics。
- 23：试卷代码，表示 Paper 2，时区代码为 23。
考试时间：October/November 2016（2016年10月/11月考试）。
考试时长：3小时。
附加材料：List of Formulae (MF10)（公式表 MF10）。
页数说明：试卷共 6页，另有 2页空白页 和 1页插页。

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考试说明

提供了重要的考试说明，考生需要严格遵守以下要求：

1. 答题材料

提供 答题册（answer booklet），考生需在答题册内作答。
如果需要额外答题纸，需向监考人员申请。

2. 答题要求

全答：考生需回答所有问题。
数值精度：
- 非精确数值答案需保留 3位有效数字。
- 角度答案需保留到 1位小数（单位为度），除非题目另有要求。
重力加速度：若题目需要使用重力加速度，规定值为 $g = 10 m/s^{2}$ 。
计算器使用：
- 考试允许使用计算器，考生需熟练掌握其操作。
- 注意：仅提供计算器结果而无步骤或推导过程的答案将不获分。

3. 答题清晰度

答案需清晰呈现，逻辑严谨，避免因书写或表达不清而失分。

4. 分值提示

每道题或每部分题目的分值标注在题目末尾，便于考生合理分配时间。

5. 考试结束

考试结束后，需将所有答题材料整理并装订好。

试卷特点

1. 试卷结构

Paper 2 是 Further Mathematics 的核心试卷之一，主要考查高等数学的理论和应用。
题目通常包括：
- 纯数学部分：如微积分、线性代数、复数、矩阵等。
- 应用数学部分：如力学、概率与统计等。

2. 题目类型

多步骤计算题：需要详细的推导和计算过程。
证明题：要求考生进行数学推导或逻辑证明。
问题解决题：结合数学概念解决实际问题。

3. 考试时间

考试时长为 3小时，考生需合理分配时间，确保完成所有题目。

4. 使用公式表

提供 MF10 公式表，考生需熟悉其内容和使用方法，以便快速查找所需公式。

备考建议

为了在剑桥 A Level Further Mathematics Paper 2 中取得高分，考生需要充分准备并掌握以下技巧：

1. 熟悉考试大纲

复习 Further Mathematics 的核心主题，包括：
- 纯数学：微积分、复数、矩阵、向量、微分方程等。
- 应用数学：概率、统计、力学等。
确保对所有知识点有全面理解，并能够灵活应用。

2. 熟练使用公式表

下载并熟悉 MF10 公式表，了解其中的公式和符号。
在练习中主动使用公式表，模拟考试环境。

3. 提升解题能力

步骤清晰：计算题需写出完整步骤，确保每一步都能获得得分。
逻辑严谨：证明题需使用清晰的逻辑推导，避免跳步或模糊表达。
准确性：注意数值答案的精度要求（如 3位有效数字或角度保留 1位小数）。

4. 合理分配时间

根据题目分值分配答题时间，避免在某一题目上花费过多时间。
建议在考试中预留 10-15分钟检查答案。

5. 强化计算器使用

熟练掌握考试允许的计算器功能，如矩阵计算、方程求解、统计分析等。
练习在计算器结果的基础上补充推导过程，避免因缺少步骤失分。

6. 练习历年真题

完成历年 Paper 2 真题，熟悉题目类型和难度。
使用评分标准（Mark Scheme）核对答案，分析错误并总结规律。

7. 模拟考试环境

在 3小时内完成一套完整的 Paper 2 真题，模拟真实考试环境。
训练在压力下快速解题和准确表达。

考试技巧

在考试中，考生需保持专注并高效作答。以下是一些实用技巧：

1. 仔细阅读题目

确保理解题目要求，特别是关键字（如 "prove", "show that", "find", "solve"）。
注意题目中的单位、精度要求和特殊条件。

2. 按分值分配时间

高分题目通常需要更多时间和步骤，合理安排答题顺序。

3. 检查答案

计算题需检查计算过程和结果是否符合题目要求。
证明题需检查逻辑推导是否完整。

4. 使用草稿纸

在草稿纸上进行初步计算和推导，再将清晰的答案写在答题册内。

5. 遇到难题时冷静处理

如果遇到难题，不要纠结太久，可暂时跳过，待完成其他题目后再回头解决。

剑桥 A Level Further Mathematics Paper 2 是一场高强度的数学考试，考生需具备扎实的数学基础和灵活的解题能力。通过熟悉考试要求、强化练习和掌握技巧，考生可以在考试中充分发挥实力。

以上就是关于【Alevel高等数学2016年真题下载《Cambridge International A Level Further Mathematics Paper 2 October/November 2016》】的内容，如需了解Alevel课程动态，可至Alevel课程资源网获取更多信息。

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剑桥国际A Level进阶数学（9231）2016年10月/11月试卷2详解

问题1：简谐运动（SHM）

(i) 最大加速度
由简谐运动速度公式 $v^{2} = ω^{2} (a^{2} - x^{2})$ ，在C点（ $x = 4 - 3 = 1 m$ ）：

$4^{2} = ω^{2} (3^{2} - 1^{2}) \Rightarrow ω^{2} = 2 \Rightarrow ω = 2 rad/s$

最大加速度：

$a_{max} = ω^{2} \cdot a = 2 \cdot 3 = 6 m/s^{2}$

答案： $6 m/s^{2}$

(ii) 一分钟内的振荡次数
周期 $T = ω 2 π = 2 2 π \approx 4.443 s$ ，次数：

$T 60 \approx 13.5 \Rightarrow 13 次$

答案：13次

(iii) 从A到C的时间
从A到C的位移为4 m，对应角度 $θ = cos^{-1} (3 1)$ ，时间：

$t = ω θ + ω π /2 - θ \approx 1.35 s$

答案： $1.35 s$

问题2：碰撞动力学

(i) 碰撞后速度
在E点碰撞，平行于墙的速度分量不变，垂直分量按恢复系数 $e = 4 3$ ：

$v cos 7 5^{\circ} = 41 u cos β, v sin 7 5^{\circ} = 43 u sin β$

联立解得 $v = 5 2 u$ 。

(ii) 角度 $α$ 和恢复系数 $e$
在D点碰撞，速度分量关系：

$u cos α = v cos 7 5^{\circ}, e u sin α = v sin 7 5^{\circ}$

代入 $v = 5 2 u$ ，解得 $α \approx 85. 8^{\circ}$ ， $e \approx 0.274$ 。
答案： $α \approx 85. 8^{\circ}$ ， $e \approx 0.274$

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问题3：静力学平衡

(i) $sin θ = 5 3$
几何分析：高度差 $7 a$ ，杆长 $8 a$ ，得 $sin θ = 5 3$ 。

(ii) 摩擦系数 $μ$
力矩平衡方程：

$kW \cdot 4 a sin θ + W \cdot 7 a sin θ = μ W \cdot (4 a cos θ + 7 a cos θ)$

代入 $sin θ = 5 3$ ，解得 $μ = 7 4$ 。

(iii) 证明 $k = 5$
合力平方和：

$(k + 2)^{2} W^{2} + (74 (k + 2) W)^{2} = 65 W^{2}$

解得 $k = 5$ 。

问题4：圆周运动与碰撞

(i) 碰撞后速度
机械能守恒：

$21 m \cdot 313 a g = 21 (λ + 1) m \cdot v^{2} \Rightarrow v =$

(ii) 求 $λ$
弦松弛条件：

$21 (λ + 1) m \cdot v^{2} = (λ + 1) m g \cdot 3 a \Rightarrow λ = 32$

(iii) 张力变化
碰撞前张力 $T_{1} = 3 28 m g$ ，碰撞后 $T_{2} = 3 20 m g$ ，变化：

$Δ T = 38 m g$

问题5：指数分布

(i) 参数 $a$
均值 $1/ a = 10000 \Rightarrow a = 1 0^{-4}$ 。

(ii) $P (X < 15000)$

$P = 1 - e^{-10 -4 \cdot 15000} \approx 0.777$

(iii) 分位数 $d$

$e$

问题6：假设检验

t检验：
样本均值 $x ˉ = 6.246$ ，方差 $s^{2} = 0.112$ ，t统计量：

$t = s / 8 6.246 - 6.44 \approx - 1.64$

临界值 $t_{7, 0.95} = 1.895$ ，因 $- 1.64 > - 1.895$ ，不拒绝原假设。

问题7：概率密度函数

(i) 分布函数

$F (x) = \int_{2 x} 61 t d t = 12 x ^{2} - 31 (2 \leq x \leq 4)$

(ii) $Y = X^{3}$ 的密度函数

$g (y) = 181 y^{-1/3} (8 \leq y \leq 64)$

(iii) 求 $k$

$P (Y \geq k) = 127 \Rightarrow k = 27$

问题8：置信区间

(i) 合并方差

$s_{p 2} = 10859 \cdot 406.78 + 49 \cdot 320.41 \approx 367.6$

(ii) 95%置信区间

$16 \pm 1.96 60367.6 + 50367.6 \approx [8.8, 23.2]$

问题9：泊松分布拟合

(i) 均值方差
均值 $\approx 4.0$ ，方差 $\approx 3.57$ ，接近泊松分布。

(ii) 缺失期望值
泊松分布 $λ = 4$ ，计算得缺失值为 $1.10$ （0次）和 $8.79$ （2次）。

(iii) 卡方检验
合并后卡方统计量 $χ^{2} = 5.29$ ，临界值 $9.24$ ，不拒绝原假设。

问题10：刚体转动

(i) 圆盘转动惯量

$I_{disc} = 21 \cdot 21 m a^{2} + 21 m (2 a)^{2} = 413 m a^{2}$

(ii) 总转动惯量
叠加各部分得 $I_{total} = 3 52 m a^{2}$ 。

(iii) 角度 $θ$
能量守恒：

$21 I ω_{02} = 7 m g a (1 - cos θ) \Rightarrow cos θ = 218$

本卷综合性强，需细致应用物理定律、统计方法和数学推导，确保每一步逻辑严密，计算准确。

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BPHO竞赛晋级之路：JPC→IPC→SPC→BPhO R1→BPhO R2！看这篇就够了！

剑桥国际A Level进阶数学9231/12试卷内容详解

试卷结构

本试卷共11题，满分100分，涵盖级数求和、多项式方程、线性代数、微分方程、积分应用、几何与复数等多个模块。题目注重对数学方法的综合应用与逻辑推理能力，以下为各题核心内容解析：

各题核心考点与解题思路

1. 级数求和与无限级数

要求：用差分法求 $\sum_{r = 1 n} ( 2 r ) ^{2} - 1 1$ ，并推导其无限级数值。
关键步骤：
1. 分式分解： $( 2 r - 1 ) ( 2 r + 1 ) 1 = 2 1 (2 r - 1 1 - 2 r + 1 1)$ 。
2. 裂项相消求和： $\sum_{r = 1 n} ( 2 r ) ^{2} - 1 1 = 2 n + 1 n$ 。
3. 无限级数： $\sum_{r = 1 \infty} ( 2 r ) ^{2} - 1 1 = 2 1$ 。
易错点：分式分解错误或求和时遗漏项。

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2. 三次方程构造

已知条件： $α + β + γ = 3$ ， $α^{2} + β^{2} + γ^{2} = 1$ ， $α^{3} + β^{3} + γ^{3} = - 30$ 。
关键公式：
$α^{3} + β^{3} + γ^{3} = (α + β + γ)^{3} - 3 (α + β + γ) (α β + β γ + γ α) + 3 α β γ$ 。
答案： $x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 7 = 0$ 。

3. 矩阵构造与对角化

要求：构造特征值为 $- 1, 1, 2$ ，对应特征向量为 $100, 110, 011$ 的矩阵 $A$ 。
关键步骤：
1. 矩阵对角化： $A = P D P^{-1}$ ，其中 $D$ 为特征值对角阵， $P$ 为特征向量矩阵。
2. 计算得 $A = -100 210 -212$ 。

4. 组合恒等式与数学归纳法

组合恒等式： $(r - 1 n) + (r n) = (r n + 1)$ （利用阶乘展开证明）。
归纳法：验证 $n = 1$ 成立，假设 $n = k$ 成立，证明 $n = k + 1$ 时二项式展开式仍成立。

5. 线性变换分析

矩阵分析：
1. 秩：通过行变换化简矩阵，非零行数为3，故秩为3。
2. 值域空间基：选取矩阵的列向量中线性无关的前两列，如 $1236, 381324$ 。
3. 零空间基：解齐次方程组，得基向量 $-29502, -19320$ 。

6. 二阶微分方程求解

齐次解：特征方程 $m^{2} + 7 m + 10 = 0$ ，根为 $m = - 2, - 5$ ，解为 $x_{h} = A e^{-2 t} + B e^{-5 t}$ 。
特解：假设 $x_{p} = P sin 2 t + Q cos 2 t$ ，代入求得 $P = 3, Q = - 7$ 。
通解： $x = A e^{-2 t} + B e^{-5 t} + 3 sin 2 t - 7 cos 2 t$ 。
大 $t$ 近似解：稳态解 $x \approx 3 sin 2 t - 7 cos 2 t$ 。

7. 积分应用

平均导数： $均值 = 2 1 \int_{02} e^{-4 x} d x = 8 1 - e ^{-8} \approx 0.124$ 。
质心坐标： $x ˉ = \int ^{02} e ^{-2 x} d x \int ^{02} x e ^{-2 x} d x \approx 0.463$ ， $y ˉ = 2 1 \int_{02} e^{-4 x} d x \approx 0.255$ 。

8. 隐函数求导与极值判定

驻点条件：对 $x^{2} + 4 x y - y^{2} + 20 = 0$ 隐函数求导，得 $x = - 2 y$ 。
驻点坐标：解得 $(4, - 2)$ （极大）， $(- 4, 2)$ （极小）。

9. 积分与递推公式

积分计算： $\int_{0 π /2} x sin x d x = 1$ 。
递推公式：分部积分得 $I_{n} = n (2 π)^{n - 1} - n (n - 1) I_{n - 2}$ 。
变量替换：令 $x = cos^{-1} u$ ，积分结果为 $I_{3} = 4 3 π ^{2} - 6$ 。

10. 复数与三角积分

复数恒等式： $z^{n} + z^{- n} = 2 cos n θ$ ， $z^{n} - z^{- n} = 2 i sin n θ$ 。
三角恒等式展开： $sin^{4} θ cos^{2} θ = 32 1 (cos 6 θ - 2 cos 4 θ - cos 2 θ + 2)$ 。
定积分结果： $\int_{0 π /4} sin^{4} θ cos^{2} θ d θ = 192 3 π - 4$ 。

11. 几何与参数曲线（二选一）

几何部分：
1. 求两直线公垂线的端点 $P (3 i + j + 2 k)$ 和 $Q (i + 2 j - 3 k)$ 。
2. 平面方程： $Π : r = 3 i + j + 2 k + λ (3 i - 4 j - 2 k) + μ (法向量)$ 。
3. 交线方程：解平面与 $z = 0$ 的交线 $l_{3}$ 。
参数曲线部分：
1. 弧长： $\int_{0 1/ 3} (1 + 9 t^{2}) d t = 3 2$ 。
2. 表面积： $2 π \int y (d x / d t)^{2} + (d y / d t)^{2} d t = 3 π$ 。
3. 极坐标方程：消参得 $r = sec θ (1 - 3 tan^{2} θ)$ ，定义域 $0 \leq θ \leq 6 π$ 。
4. 面积： $2 1 \int_{0 π /6} r^{2} d θ = 8 π$ 。

本试卷全面考察了高等数学的核心内容，注重理论与应用的结合。解题时需注意公式的准确应用、逻辑的严密性以及计算的细致性，尤其在矩阵对角化、微分方程特解假设和参数曲线积分等部分需格外谨慎。

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