Alevel数学教材下载《Chapter 11 Growth and Decay》

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Alevel数学教材下载《Chapter 11 Growth and Decay》

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本章系统性地讲解了指数函数与对数函数在增长与衰减模型中的应用，涵盖从基础定义到实际问题的数学建模与求解。通过生物学、物理学和考古学等领域的案例，帮助学生掌握指数增长、放射性衰减、碳定年、牛顿冷却定律等核心内容。关键知识点包括：

11.1 增长与衰减模型

指数函数定义：
形式为 $y = b a^{x}$ （增长）或 $y = b a^{- x}$ （衰减），其中 $a > 1$ 时增长， $0 < a < 1$ 时衰减。
- 示例：
  - 细菌分裂：数量每 $t$ 分钟翻倍，模型为 $N (t) = 2^{t}$ 。
  - 放射性衰变：镭219的半衰期为4秒，模型为 $N (t) = 1000 \times 2^{- t /4}$ 。
实际应用：
- 人口增长：若年增长率为3%，则模型为 $P (t) = 4.5 \times 1.0 3^{t}$ （单位：十亿）。
- 濒危鱼类种群：年衰减率15%，模型为 $P (t) = 100000 \times 0.8 5^{t}$ ，当 $P < 25000$ 时需采取措施。

11.2 碳定年法

碳14衰减模型：
半衰期为5730年，放射性强度 $R (t) = R_{0} \times 2^{- t /5730}$ 。
- 示例：
  若现代样本放射性为10 Bq/g，古生物样本为5 Bq/g，则年龄为5730年。
- 图像分析：通过绘制放射性强度随时间衰减的曲线，估算未知样本年龄（如8.5 Bq/g对应约2200年）。

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11.3 自然指数函数 $e^{x}$ 及其导数

自然指数函数：
唯一满足 $d x d e^{x} = e^{x}$ 的函数，基 $e \approx 2.71828$ 。
- 图像特征：
  - 过点 $(0, 1)$ ，单增且无界。
  - 函数族 $y = e^{x + c}$ 或 $y = e^{- x}$ 的图像平移或对称特性。
自然对数函数 $ln (x)$ ：
$e^{x}$ 的逆函数，定义域 $x > 0$ ，值域为全体实数。
- 导数：
  $d x d ln (x) = x 1 (x > 0) .$

11.4 指数方程的求解

对数转换法：
对 $a^{x} = b$ 取自然对数，得 $x = l n a l n b$ 。
- 示例：
  细菌数量达到1000的时间： $2^{m} = 1000 \Rightarrow m = l n 2 l n 1000 \approx 9.97$ 分钟。
- 复杂方程：
  解 $3^{2 x - 1} = 5^{x}$ ，取对数后分离变量得 $x \approx 1.87$ 。

11.5 对数性质与数据拟合

对数运算规则：
$ln (ab) = ln a + ln b, ln (b a) = ln a - ln b, ln (a^{k}) = k ln a .$
科学数据拟合：
- 开普勒第三定律：行星轨道周期 $T$ 与半径 $R$ 满足 $T = a R^{b}$ ，取对数后线性化 $ln T = ln a + b ln R$ ，通过斜率截距求参数。
- 吉他弦频率：频率 $f$ 与长度 $l$ 关系 $f = a l^{b}$ ，类似方法拟合参数。

11.6 牛顿冷却定律

模型：温度差 $D = a e^{- k t}$ ，用于估计死亡时间。
- 示例：
  尸体温度从34°C（环境17°C）降至33°C用时1小时，解得 $D = 17 e^{-0.0606 t}$ ，反推死亡时间为约5:30 AM。

11.7 其他基数的对数

对数定义：若 $y = a^{x}$ ，则 $x = log_{a} y$ 。
- 性质：
  $log_{a} 1 = 0, log_{a} a = 1, log_{a} (a^{k}) = k .$
- 常用对数：
  $log_{10} 1000 = 3$ ， $log_{2} 8 = 3$ 。

综合练习与实际问题

方程求解：如 $e^{2 x - 1} = 5$ 解为 $x = 2 1 + l n 5 \approx 1.305$ 。
放射性衰减：根据测量数据拟合 $R = a \times 2^{- k t}$ ，计算半衰期。
对数应用：通过线性化数据拟合模型参数，预测科学现象。

本章通过指数与对数函数的理论推导与跨学科应用，构建了从数学模型到实际问题的完整分析框架。核心包括：

指数增长与衰减的普适性：从生物种群到放射性物质，统一使用 $y = b a^{\pm x}$ 描述。
自然指数函数 $e^{x}$ 的核心地位：其导数性质为微分方程与连续模型奠定基础。
对数工具的灵活性：解决复杂指数方程，实现数据线性化与参数估计。

通过丰富的实例与练习，读者可掌握从理论推导到实际建模的全流程技能，为后续学习微积分、统计学及科学研究提供坚实基础。

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