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Alevel数学教材下载《Chapter 11 Growth and Decay》

章节概览

本章系统性地讲解了指数函数与对数函数在增长与衰减模型中的应用，涵盖从基础定义到实际问题的数学建模与求解。通过生物学、物理学和考古学等领域的案例，帮助学生掌握指数增长、放射性衰减、碳定年、牛顿冷却定律等核心内容。关键知识点包括：

11.1 增长与衰减模型

指数函数定义：
形式为 $y = b a^{x}$ （增长）或 $y = b a^{- x}$ （衰减），其中 $a > 1$ 时增长， $0 < a < 1$ 时衰减。
- 示例：
  - 细菌分裂：数量每 $t$ 分钟翻倍，模型为 $N (t) = 2^{t}$ 。
  - 放射性衰变：镭219的半衰期为4秒，模型为 $N (t) = 1000 \times 2^{- t /4}$ 。
实际应用：
- 人口增长：若年增长率为3%，则模型为 $P (t) = 4.5 \times 1.0 3^{t}$ （单位：十亿）。
- 濒危鱼类种群：年衰减率15%，模型为 $P (t) = 100000 \times 0.8 5^{t}$ ，当 $P < 25000$ 时需采取措施。

11.2 碳定年法

碳14衰减模型：
半衰期为5730年，放射性强度 $R (t) = R_{0} \times 2^{- t /5730}$ 。
- 示例：
  若现代样本放射性为10 Bq/g，古生物样本为5 Bq/g，则年龄为5730年。
- 图像分析：通过绘制放射性强度随时间衰减的曲线，估算未知样本年龄（如8.5 Bq/g对应约2200年）。

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11.3 自然指数函数 $e^{x}$ 及其导数

自然指数函数：
唯一满足 $d x d e^{x} = e^{x}$ 的函数，基 $e \approx 2.71828$ 。
- 图像特征：
  - 过点 $(0, 1)$ ，单增且无界。
  - 函数族 $y = e^{x + c}$ 或 $y = e^{- x}$ 的图像平移或对称特性。
自然对数函数 $ln (x)$ ：
$e^{x}$ 的逆函数，定义域 $x > 0$ ，值域为全体实数。
- 导数：
  $d x d ln (x) = x 1 (x > 0) .$

11.4 指数方程的求解

对数转换法：
对 $a^{x} = b$ 取自然对数，得 $x = l n a l n b$ 。
- 示例：
  细菌数量达到1000的时间： $2^{m} = 1000 \Rightarrow m = l n 2 l n 1000 \approx 9.97$ 分钟。
- 复杂方程：
  解 $3^{2 x - 1} = 5^{x}$ ，取对数后分离变量得 $x \approx 1.87$ 。

11.5 对数性质与数据拟合

对数运算规则：
$ln (ab) = ln a + ln b, ln (b a) = ln a - ln b, ln (a^{k}) = k ln a .$
科学数据拟合：
- 开普勒第三定律：行星轨道周期 $T$ 与半径 $R$ 满足 $T = a R^{b}$ ，取对数后线性化 $ln T = ln a + b ln R$ ，通过斜率截距求参数。
- 吉他弦频率：频率 $f$ 与长度 $l$ 关系 $f = a l^{b}$ ，类似方法拟合参数。

11.6 牛顿冷却定律

模型：温度差 $D = a e^{- k t}$ ，用于估计死亡时间。
- 示例：
  尸体温度从34°C（环境17°C）降至33°C用时1小时，解得 $D = 17 e^{-0.0606 t}$ ，反推死亡时间为约5:30 AM。

11.7 其他基数的对数

对数定义：若 $y = a^{x}$ ，则 $x = log_{a} y$ 。
- 性质：
  $log_{a} 1 = 0, log_{a} a = 1, log_{a} (a^{k}) = k .$
- 常用对数：
  $log_{10} 1000 = 3$ ， $log_{2} 8 = 3$ 。

综合练习与实际问题

方程求解：如 $e^{2 x - 1} = 5$ 解为 $x = 2 1 + l n 5 \approx 1.305$ 。
放射性衰减：根据测量数据拟合 $R = a \times 2^{- k t}$ ，计算半衰期。
对数应用：通过线性化数据拟合模型参数，预测科学现象。

本章通过指数与对数函数的理论推导与跨学科应用，构建了从数学模型到实际问题的完整分析框架。核心包括：

指数增长与衰减的普适性：从生物种群到放射性物质，统一使用 $y = b a^{\pm x}$ 描述。
自然指数函数 $e^{x}$ 的核心地位：其导数性质为微分方程与连续模型奠定基础。
对数工具的灵活性：解决复杂指数方程，实现数据线性化与参数估计。

通过丰富的实例与练习，读者可掌握从理论推导到实际建模的全流程技能，为后续学习微积分、统计学及科学研究提供坚实基础。

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Alevel数学教材下载《Chapter 10 Tngonometry》

章节概览

本章系统性地介绍了三角函数的核心概念，涵盖弧度制、三角函数的定义与性质、方程求解及实际应用。通过丰富的示例与活动，帮助学生从基础转换到复杂方程求解，逐步掌握三角学的核心工具。

核心章节与关键概念

10.0 引言

学习目标：
- 理解弧度制的定义与转换；
- 掌握弧长与扇形面积的计算；
- 熟悉三角函数的基本性质与图像；
- 能够解简单三角方程。
历史背景：通过活动探讨角度测量单位（度、弧度、百分度）的起源与应用。

10.1 弧度制

定义：1弧度是弧长等于半径的圆心角，对应角度为 $π 180 ^{\circ} \approx 57. 3^{\circ}$ 。
转换公式：
$θ_{弧度} = θ_{度} \times 180 π, θ_{度} = θ_{弧度} \times π 180 .$
示例：
- $9 0^{\circ} = 2 π$ 弧度， $36 0^{\circ} = 2 π$ 弧度。
练习：转换角度如 $15 0^{\circ} \to 6 5 π$ 弧度， $12 π \to 1 5^{\circ}$ 。

10.2 弧长与扇形面积

公式（弧度制下）：
$弧长 = r θ, 扇形面积 = 21 r^{2} θ .$
应用示例：
- 已知扇形面积求圆心角（如银饰设计问题）；
- 约束周长下计算角度（如 $10 = 2.5 + 2.5 + 2.5 θ \to θ = 2$ 弧度）。
练习：涉及油桶浮力、弦长与扇形面积的联立方程求解。

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10.3 三角函数基本性质

定义扩展：
- 单位圆上， $sin θ = y$ ， $cos θ = x$ ， $tan θ = x y$ 。
- 周期性： $sin (x + 36 0^{\circ}) = sin x$ ， $cos (x + 36 0^{\circ}) = cos x$ ， $tan (x + 18 0^{\circ}) = tan x$ 。
对称性：
- 奇函数： $sin (- x) = - sin x$ ， $tan (- x) = - tan x$ ；
- 偶函数： $cos (- x) = cos x$ 。
关键关系：
$sin θ = cos (9 0^{\circ} - θ), sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1.$
示例：利用对称性计算 $sin 15 0^{\circ} = 2 1$ ， $cos 24 0^{\circ} = - 2 1$ 。

10.4 三角方程求解

核心方法：
1. 图形辅助：绘制三角函数与常数线，确定交点范围；
2. 反函数计算：用计算器求主值（如 $arcsin (0.5) = 3 0^{\circ}$ ）；
3. 利用周期性：扩展解至给定区间（如 $tan x = - 2$ 在 $- 2 π \leq x \leq 2 π$ 内有4个解）。
示例：
- $sin x = 2 1$ 的解为 $3 0^{\circ}, 15 0^{\circ}$ ；
- $3 cos x = - 0.6$ 的解为 $101. 5^{\circ}, 258. 5^{\circ}$ 。

10.5 三角恒等式与复杂方程

恒等式应用：
- $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ 用于简化方程（如将 $3 cos x = 2 sin^{2} x$ 转化为二次方程）；
- 因式分解法解方程（如 $cos x (sin x - 3) = 0$ ）。
示例：
- 解 $sin x = 2 cos x \to tan x = 2$ ，解为 $63. 4^{\circ}, 243. 4^{\circ}$ 。
- 解 $3 cos x = 2 - 2 cos^{2} x \to cos x = 2 1$ ，解为 $6 0^{\circ}, 30 0^{\circ}$ 。

10.6 综合练习

多样化问题：
- 几何计算（弧长、扇形面积、弦长与半径关系）；
- 角度转换（度与弧度互化）；
- 解复杂三角方程（含复合角、二次方程、多周期解）。
典型题目：
- 求解 $sin 3 x = - 2 1$ 在 $0 \leq x \leq 2 π$ 内的所有解；
- 利用恒等式解 $2 sin^{2} x + 5 cos x + 1 = 0$ 。

本章通过逐步深入的讲解与丰富的练习，构建了从弧度制到三角方程求解的完整知识体系。核心亮点包括：

弧度制的直观理解：通过弧长与半径的关系定义角度，简化几何公式；
三角函数的图形化学习：借助单位圆与图像分析周期性、对称性；
方程求解的策略：结合反函数、恒等式与图形分析，全面覆盖单解与多解问题。
学生需通过反复练习，熟练掌握弧度转换、公式应用及方程解法，为后续学习微积分与物理建模奠定坚实基础。

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Alevel数学教材下载《Chapter 9 Powers》

章节概览

本章聚焦于分数指数的定义、二项式定理的应用以及组合数学的基础知识，通过实际案例和数学推导帮助学生掌握幂运算的扩展应用。核心内容包括：

9.1 分数指数

定义与符号：
- 分数指数与根号的等价关系：
  $x^{n 1} = n x, x^{n m} = n x^{m} 或 (n x)^{m} .$
- 示例：
  - $2^{2 1} = 2$ ， $8^{3 1} = 38 = 2$ 。
实际应用：
- 信用卡利息：若年利率（APR）为30.23%，则月利率为：
  $(1.3023)^{12 1} \approx 1.022 \Rightarrow 2.2%.$
- 债务计算：欠款£162，2个月后需支付：
  $162 \times (1.3023)^{6 1} \approx £169.29.$

9.2 指数增长与幂运算

指数增长模型：
- 细菌分裂：每半小时分裂一次， $t$ 小时后细菌数为：
  $N (t) = 4^{t} .$
- 浮萍覆盖面积：每周面积翻倍，周一覆盖率为13%，则周二为26%。
幂的运算技巧：
- 分数指数转换：如 $3^{5 2} = 59 \approx 1.49$ 。
- 负指数处理： $6^{- 5 3} = 6 ^{53} 1 \approx 0.511$ 。

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9.3 二项式展开

基本展开式：
- 低次幂展开示例：
  $(1 + x)^{4} = 1 + 4 x + 6 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4} .$
- 一般形式：
  $(a + x)^{n} = r = 0 \sum n (r n) a^{n - r} x^{r} .$
组合数（二项式系数）：
- 定义： $(r n) = r ! ( n - r )! n !$ 。
- 应用示例：
  - 桥牌问题：4张红桃牌在W和E之间的分配方式有 $(2 4) = 6$ 种。
  - 曼哈顿街道最短路径：5步中选择3步右转的方式为 $(3 5) = 10$ 种。

9.4 阶乘与排列组合

阶乘定义： $n! = n \times (n - 1) \times \dots \times 1$ 。
重复元素的排列数：
- 单词"SENSES"的排列数为：
  $3 ! 2 ! 6 ! = 60.$
- 组合问题：从9人中选5人组成网球队的方式为 $(5 9) = 126$ 种。

9.5 二项式定理

定理形式：
$(a + x)^{n} = r = 0 \sum n (r n) a^{n - r} x^{r} .$
实际应用：
- 近似计算： $(1.01)^{8} \approx 1 + 8 \times 0.01 + 28 \times 0.0001 \approx 1.0828$ 。
- 展开示例：
  $(2 x + 3 y)^{4} = 16 x^{4} + 96 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} + 216 x y^{3} + 81 y^{4} .$
- 系数提取： $(4 - 3 x)^{9}$ 中 $x^{5}$ 项的系数为：
  $(59) \times 4^{4} \times (- 3)^{5} = - 7838 208.$

综合练习

题型覆盖：
1. 分数指数计算：如 $1 6^{- 4 3} = 8 1$ 。
2. 方程求解：如解 $8^{x} = 4 1 \Rightarrow x = - 3 2$ 。
3. 组合问题：从25人中选4人委员会的方式为 $(4 25) = 12650$ 种。
4. 二项式展开：展开 $(3 - 2 1 p)^{5}$ 并化简。
5. 实际建模：浮萍覆盖面积、信用卡债务增长等。

本章通过分数指数、二项式定理和组合数学的系统讲解，构建了从基础幂运算到复杂多项式展开的知识体系。重点包括：

分数指数的灵活转换：连接根号与幂运算，解决金融和科学问题。
二项式定理的普适性：通过组合数展开高次多项式，应用于近似计算和系数提取。
组合数学的实际意义：从桥牌分配到路径选择，体现数学在现实决策中的价值。

通过丰富的例题与练习，读者可逐步掌握从理论推导到实际应用的完整技能链，为后续学习概率论、统计学等高级数学奠定坚实基础。

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Alevel数学教材下载《Chapter8 Rates of Change》

章节概览

本章聚焦于变化率的核心概念，涵盖导数的基础理论、计算方法及其在现实问题中的应用，如速度分析、优化设计等。内容从直观的图形分析过渡到代数推导，最终建立微分规则体系，并拓展至多领域应用。

核心章节与关键概念

8.0 引言

核心目标：理解变化率的重要性及其在优化问题中的应用（如最小材料设计容器）。
现实案例：通过车速监控问题引入瞬时速度与平均速度的区别，强调数学建模的实际意义。

8.1 瞬时速度

核心方法：通过距离-时间图的切线斜率计算瞬时速度。
- 活动1：计算司机穿越城镇的平均速度（2分40秒行驶2公里），判断是否超速（30 mph ≈ 13.33 m/s）。
- 活动2：分析复杂距离-时间图，识别瞬时速度超速区域（如使用直角三角形模拟速度阈值）。

8.2 梯度的计算

图形法：绘制曲线（如 $h = 2 + 21 t - 5 t^{2}$ ）并手动绘制切线估算梯度。
代数法：通过极限过程推导梯度公式。
- 活动5：利用计算器放大曲线局部，观察近似线性关系。
- 活动6 & 7：推导二次函数 $y = x^{2}$ 的梯度公式为 $2 x$ ，推广至一般二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的梯度公式为 $2 a x + b$ 。

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8.3 二次函数的梯度

公式应用：直接计算任意二次曲线的梯度函数。
- 示例：
  - $y = 5 x^{2} - 7 x + 10$ 的梯度为 $10 x - 7$ 。
  - 转换变量形式（如 $s = 8 5 t - 6 1 t^{2}$ ）并求导。

8.4 微分

历史背景：牛顿与莱布尼茨的贡献，符号体系（ $d x d y$ 、 $f^{'} (x)$ ）。
基本规则：
- 幂函数： $d x d (x^{n}) = n x^{n - 1}$ （验证 $x^{3}$ 、 $1/ x$ 的导数）。
- 线性性质：导数的加减与常数乘法规则。
活动10：推导 $y = x^{3}$ 的导数为 $3 x^{2}$ ，展示代数过程。

8.5 优化问题

极值点：通过导数为零的条件寻找函数的最大值/最小值。
- 活动11：最大化开口盒体积（ $V = x (20 - 2 x)^{2}$ ），求导解方程 $d x d V = 0$ 。
- 示例：圆柱罐最小表面积设计（约束条件：体积固定，通过消元转化为单变量优化）。
判别极值：通过邻近点函数值或梯度符号变化区分极大/极小值。

8.6 约束优化

核心思想：将多变量问题转化为单变量问题。
- 示例：用120米围栏最大化矩形面积（约束 $4 x + 3 y = 120$ ，消元得 $A = 40 x - 3 4 x^{2}$ 后求导）。

8.7 高阶函数微分

扩展规则：负指数与分数指数的导数（如 $d x d (x^{- n}) = - n x^{- n - 1}$ ）。
- 示例：
  - $y = x ^{5} 7 = 7 x^{-5}$ 的导数为 $- 35 x^{-6}$ 。
  - 多项式与分式组合的微分（如 $T = 6 p^{5} - 8 p^{4} + 10 p - p ^{2} 4$ ）。

8.8 线性性质证明

数学严谨性：通过极限定义证明导数的线性性质：
$d x d (a f + b g) = a d x df + b d x d g .$
- 活动18：形式化证明加法与常数乘法规则。

8.9 应用实例

切线方程：利用导数求曲线在某点的切线方程（如 $y = x^{2} - x ^{2} 1$ 在 (1, 0) 的切线为 $y = 4 x - 4$ ）。
法线方程：切线斜率的负倒数（如 $y = x^{3} - 3 x + 2$ 在 $x = 2$ 的法线方程为 $9 y + x = 38$ ）。

8.10 综合练习

多样化问题：涵盖几何优化（最大体积、最小表面积）、运动学（速度、加速度）、复杂函数微分等。
- 示例：
  - 粒子运动 $s = t^{3} - 12 t^{2} + 45 t + 10$ ，求速度、加速度及静止时刻。
  - 开放盒体积最大化问题（ $V = 4 x^{3} - 78 x^{2} + 360 x$ 求极值）。

本章系统性地构建了导数的理论框架，从直观的图形分析到严格的代数推导，最终应用于现实世界的优化与变化率问题。通过大量活动与示例，学生不仅能掌握微分技巧，还能培养数学建模能力，理解数学工具在工程、经济、物理等领域的核心作用。

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Alevel数学教材下载《Chapter 7 Straight Lines》

章节概览

本章系统性地讲解了直线的基本性质、方程形式、几何应用及实际问题的建模方法。通过代数与几何结合的方式，培养读者解决线性问题的能力，涵盖以下核心主题：

7.1 斜率

核心概念：
- 斜率定义为垂直变化与水平变化的比率：
  $gradient = Δ x Δ y$
- 实际应用：
  - 以保险费用为例，建立线性模型 $y = 6 x - 50$ ，解释斜率 $m = 6$ 的实际意义（每增加1英镑保费，保险金额增加6000英镑）。
  - 通过两点坐标计算斜率，如点 $(25, 100)$ 和 $(50, 250)$ 的斜率为 $50 - 25 250 - 100 = 6$ 。

7.2 直线方程

方程形式：
所有直线方程均可表示为：

$y = m x + c$ 其中 $m$ 为斜率， $c$ 为y轴截距。
关键方法：
1. 已知斜率和一点：
  如斜率为 $- 2$ 且过点 $(4, - 1)$ ，代入方程得 $- 1 = - 2 \times 4 + c$ ，解得 $c = 7$ ，方程为 $y = - 2 x + 7$ 。
2. 已知两点：
  如点 $(1, 0)$ 和 $(3, 6)$ ，斜率 $m = 3 - 1 6 - 0 = 3$ ，代入一点得 $0 = 3 \times 1 + c$ ，解得 $c = - 3$ ，方程为 $y = 3 x - 3$ 。
3. 一般式转斜截式：
  如 $4 x + 3 y - 6 = 0$ 化简为 $y = - 3 4 x + 2$ ，斜率为 $- 3 4$ ，截距为2。

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7.3 垂直直线

垂直斜率关系：
若两直线垂直，则斜率乘积为 $- 1$ ，即 $m_{1} \times m_{2} = - 1$ 。
示例：
- 直线 $y = x + 1$ 的斜率为1，其垂线斜率为 $- 1$ 。
- 过点 $(1, 2)$ 的垂线方程为 $y = - x + 3$ 。

7.4 线性不等式

图形解法：
1. 可行区域确定：
- 绘制等式对应的直线（如 $x + y = 100$ ）。
- 确定不等式区域（如 $x + y \leq 100$ 为直线左侧区域）。
1. 最优解：
- 在可行区域的顶点处评估目标函数（如利润 $P = 20 x + 30 y$ ）。
- 农业案例：最优解为 $x = 60$ 公顷小麦， $y = 40$ 公顷甜菜，最大利润 $P = 2400$ 。

7.5 笛卡尔坐标系

两点间距离：
点 $A (x_{A}, y_{A})$ 和 $B (x_{B}, y_{B})$ 的距离公式：

$A B = (x^{B} - x^{A})^{2} + (y^{B} - y^{A})^{2}$ 示例：
- 点 $(1, 1)$ 和 $(- 3, 3)$ 的距离为 $(-4)^{2} + (2)^{2} = 20$ 。
中点坐标：
$(2 x ^{A} + x ^{B}, 2 y ^{A} + y ^{B})$ 示例：
- 点 $(- 3, 3)$ 和 $(3, 5)$ 的中点为 $(0, 4)$ 。

综合练习

题型覆盖：
1. 直线方程求解：如通过斜率和点、两点坐标或垂直关系推导方程。
2. 线性不等式分析：绘制可行区域并寻找最优解。
3. 几何应用：计算距离、中点，证明几何图形性质（如四边形为正方形）。
4. 实际问题建模：如保险费用、运输成本、弹簧伸长实验的线性拟合。

本章通过理论讲解与实例分析，系统性地阐述了直线的代数与几何性质，强调数形结合思维。重点包括：

直线方程的灵活应用：从斜率计算到实际建模。
垂直关系的数学本质：斜率乘积为 $- 1$ 的几何意义。
线性不等式的图形解法：通过可行区域寻找最优解。
笛卡尔坐标系的实际价值：在距离计算和几何证明中的核心作用。

通过丰富的例题和练习题，读者可逐步掌握从基础概念到复杂问题解决的全方位技能。

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章节概览

11.1 增长与衰减模型

11.2 碳定年法

11.3 自然指数函数 exex 及其导数

11.4 指数方程的求解

11.5 对数性质与数据拟合

11.6 牛顿冷却定律

11.7 其他基数的对数

综合练习与实际问题

章节概览

核心章节与关键概念

10.0 引言

10.1 弧度制

10.2 弧长与扇形面积

10.3 三角函数基本性质

10.4 三角方程求解

10.5 三角恒等式与复杂方程

10.6 综合练习

章节概览

9.1 分数指数

9.2 指数增长与幂运算

9.3 二项式展开

9.4 阶乘与排列组合

9.5 二项式定理

综合练习

章节概览

核心章节与关键概念

8.0 引言

8.1 瞬时速度

8.2 梯度的计算

8.3 二次函数的梯度

8.4 微分

8.5 优化问题

8.6 约束优化

8.7 高阶函数微分

8.8 线性性质证明

8.9 应用实例

8.10 综合练习

章节概览

7.1 斜率

7.2 直线方程

7.3 垂直直线

7.4 线性不等式

7.5 笛卡尔坐标系

综合练习

11.3 自然指数函数 $e^{x}$ 及其导数