做A-Level数学的参数题，图像看起来擦过一次，并不能代替代数判断。下面用一条直线与一条完整抛物线练习相切条件，例题为原创。不同考试局和科目版本的具体要求，仍需对照自己的课程大纲。
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把交点问题变成二次方程
设抛物线为y=x²，直线为y=2x+k，x取所有实数。交点的横坐标同时满足两条式子，因此x²=2x+k，整理为x²-2x-k=0。方程系数分别是1、-2、-k，最后一项的符号特别容易抄错。
判别式为(-2)²-4×1×(-k)=4+4k。大于零有两个不同实根，等于零有重根，小于零没有实根。对应到本题，就是两处相交、相切和没有实交点。
用重根找到切点
令4+4k=0，得到k=-1。此时方程变成x²-2x+1=0，即(x-1)²=0，所以唯一横坐标为1，纵坐标为1。切线是y=2x-1，切点为(1,1)。
把切点代回直线与抛物线，两边都得到1；再检查两函数的差为x²-(2x-1)=(x-1)²，除切点外始终为正。这也说明直线在整条抛物线下方，并在该点接触。
用导数作独立检验
抛物线导数为2x，在x=1处斜率为2，与直线的斜率相同。两条曲线既共享该点，又具有相同的一阶方向，和代数重根给出的结论一致。
若题目还没有涉及导数，可以保留代回与完全平方的检查。已经学习导数的同学，则应把判别式与切线斜率两条思路连接起来，而不是把它们背成两个互不相关的技巧。
一个交点不总等于相切
本题讨论的是非退化二次函数与非竖直直线，且定义域没有截断。在别的问题里，限制x的范围可能只保留一个普通交点；两条直线也可能只有一个交点而互相穿过。因此“只有一个交点”必须连同对象与条件一起使用。
自查时可分别取k=0和k=-2，确认前者有两个实交点、后者没有。咨询课程衔接时，说明考试局、数学科目代码以及卡在联立、判别式还是导数检验，比只说“切线题难”更具体。
延伸阅读：A-Level数学对数不等式：解出上界以后，别漏掉定义域。
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